[Risolto] Esercizio limite

* lim_(x → 0) (cos(x) - e^x)/sin(x) =
= lim_(x → 0) D[(cos(x) - e^x)]/D[sin(x)] =
= lim_(x → 0) - (sin(x) + e^x)/cos(x) =
= lim_(x → 0) - (0 + 1)/1 =
= lim_(x → 0) - 1

E' una forma indeterminata del tipo 0/0

Per ricondurmi a limiti notevoli lo riscrivo come

[(cos x - 1) - (e^x - 1)] / (sin(x)/x * x )

Quando x -> 0, sin(x)/x tende a 1

per cui abbiamo

[- (1 - cos x)/x - (e^x - 1)]/x =

- x * (1 - cos x)/x^2 - (e^x - 1)/x

passando al limite per x -> 0

- 0 * 1/2 - 1 = -1

Divido numeratore e denominatore per x:

(COS(x) - e^x)/x/(SIN(x)/x)

al denominatore:

LIM(SIN(x)/x) =1

x--->0

Al numeratore rimane forma indeterminata (0/0). Applico De L'Hopital:

D(COS(x) - e^x)/Dx=(- SIN(x) - e^x)/1

quindi il limite:

LIM((- SIN(x) - e^x)/1) =-1

x---> 0

Ne consegue che:

LIM((COS(x) - e^x)/SIN(x))= -1

x--->0