[Risolto] Esercizio limite

Ciao! Non sapendo quali sono le tecniche che hai studiato, proviamo a svolgerlo con il limite notevole $\lim_{x \rightarrow +\infty} (1 + \frac{1}{f(x)})^{f(x)} = e $ in questo modo:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} (\frac{x-1}{x+3})^{2\log(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} (\frac{x (1-\frac{1}{x})}{x(1+\frac{3}{x})})^{2\log(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} (\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}})^{2\log(x)}$

Studiamo separatamente i due limiti (perché sappiamo che il limite del rapporto equivale al rapporto dei limiti):

$\lim_{x \rightarrow +\infty} (1-\frac{1}{x})^{2\log(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} (1+\frac{1}{-x})^{\frac{-x}{x}2\log(x)}  = $

$ = \lim_{x \rightarrow +\infty} \big[ (1+\frac{1}{-x})^{-x} \big]^{\frac{2\log(x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{2\log(x)}{x}} =$

$= \lim_{x \rightarrow +\infty} e^0 = 1 $

mentre

$\lim_{x \rightarrow +\infty} (1+\frac{3}{x})^{2\log(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} (1+\frac{3}{x})^{\frac{3x}{3x}2\log(x)}  =$

$= \lim_{x \rightarrow +\infty} \big[ (1+\frac{3}{x})^{\frac{x}{3}} \big]^{\frac{2\log(x)}{x}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{2\log(x)}{3x}} =$

$= \lim_{x \rightarrow +\infty} e^0 = 1 $

In conclusione il limite ha valore $\frac{1}{1} = 1 $

Nota: un'altra tecnica è passare all'esponenziale perché $x = e^{\log(x)}$ quindi in questo caso avremmo ottenuto $e^{{ \log(\frac{x-1}{x+3})}^{2\log(x)}} = e^{2 \log(x) \log(\frac{x-1}{x+3})}$