[Risolto] circonferenza

Ciao!

Esercizio 193

Per verificare che un punto $P$ appartenga a una curva $\gamma$ basta sostituire le coordinate del punto nell'equazione della curva e verificare che si ottenga una relazione vera. Nel nostro caso: 

$P(-2;4)$ , $\gamma: x^2+y^2+2x-4y = 0 $

Sostituiamo: $(-2)^2 + 4^2 +2(-2)-4(4) = 0 $
$4+16-4-16 = 0 $
$0= 0$ che è una relazione vera. Quindi $P$ appartiene alla circonferenza. 

Per determinare la retta tangente alla circonferenza e passante per $P$, ricordiamoci che una retta tangente è sempre perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. Essendo sempre perpendicolare al raggio, in particolare, sarà perpendicolare alla retta su cui giace il raggio, che è il segmento che congiunge il centro e qualsiasi punto sul bordo, in particolare il punto P.

Cerchiamo quindi il centro: $C =(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}) = (-1; 2)$
Il coefficiente angolare della retta su cui giace il raggio è il coefficiente angolare della retta che collega il centro $C$ e il punto $P$ e possiamo calcolarlo con la formula:

$m_{CP} = \frac{y_C-y_P}{x_C-x_P} = \frac{2-4}{-1+2} = -2 $

per perpendicolarità, quello della retta tangente sarà $m_t = -\frac{1}{m_{CP}}= \frac12$

Quindi la retta tangente è la retta che passa per $P$ con coefficiente $m_t = \frac12$ cioè:

$y-y_P = m_t (x-x_P)$

$y-4 = \frac12(x+2)$

$y = \frac12 x +5 $ che possiamo scrivere in forma implicita come

$2y -x -10 = 0 $ oppure $x-2y+10 = 0 $

Esercizio 196

Si fa ovviamente come l'esercizio precedente quindi faccio solo i conti senza spiegazioni.

$P(1;2)$ $\gamma: x^2+y^2 -6x+2y-3 = 0$

$1^2+2^2-6(1)+2(2)-3 = 0 $
$1+4-6+4-3 = 0 $
$0 = 0 $ quindi $P$ appartiene alla circonferenza.

Il centro: $C = (3; -1)$

$m_{CP} = \frac{-3}{2} = -\frac32$
$m_t = \frac23$

La retta è: 

$y-2 = \frac23 (x-1)$

$y = \frac23 x +\frac43$

 

Esercizio 184 

$A(-2;3)$ $\gamma: x^2+y^2 -10x+8y-8= 0 $

La generica retta passante per il punto $A$ è data da $y= mx+q$ dove

$3 = m(-2)+q$
$q = 3+2m$ $\Rightarrow \ \ y = mx +3+2m $

Intersechiamo questa retta generica con l'equazione della circonferenza per determinare i punti di intersezione tra questi due e poi imponiamo la condizione di tangenza: la condizione di tangenza significa imporre che vi sa un solo punto di intersezione, cioè che $\Delta = 0$ nell'equazione di secondo grado che il sistema ci restituirà:

$\begin{cases} x^2+y^2 -10x+8y-8= 0  \\ y = mx +3+2m \end{cases} $

$\begin{cases} x^2 + (mx +3+2m)^2-10x +8 (mx +3+2m)-8 = 0 \\ y = mx +3+2m \end{cases} $

che ci porta a risolvere:

$x^2 + (mx +3+2m)^2-10x +8 (mx +3+2m)-8 = 0$

$x^2 +m^2 x^2 + 9+4m^2 +4m^2 x +6mx + 12m -10x +8mx +24+16m-8 = 0 $

$x^2 (1+m^2) + x(4m^2+6m -10+8m) + (9+4m^2 +12 m +24+16m-8) = 0 $
$x^2 (1+m^2) + x(4m^2 +14m -10) + (4m^2 +28m +25) = 0 $

Imponiamo la condizione di tangenza:

$\Delta = 0 \ \Rightarrow b^2-4ac = 0$ oppure usando il $\frac{\Delta}{4}$ (che in questo caso risulta ancora più comodo) $\frac{b^2}{4} - ac = 0$

$( 2m^2 +7m -5)^2-(1+m^2)(4m^2 +28m +25)= 0 $

$4m^4+49m^2 +25 + 28m^3 - 70m -20m^2 -4m^2-28m -25 -4m^4 -28m^3 -25m^2 = 0 $

$98m = 0 $

$m = 0 $

quindi $ y = 0 \cdot x +3+2 \cdot 0 = 3 $

Quindi abbiamo trovato soltanto una retta parallela all'asse $x$. 

Controlliamo se c'è anche una retta parallela all'asse $y$ che soddisfa questa condizione di tangenza. Per passare per il punto $A$, questa retta deve essere $ x = -2$ 

Proviamo a intersecarla con la circonferenza:

$\begin{cases} x^2+y^2 -10x+8y-8= 0 \\ x= -2 \end{cases} $

$\begin{cases} (-2)^2+y^2 -10(-2)+8y-8= 0 \\ x= -2 \end{cases} $

che ci dà: $ 4+y^2 +20 +8y -8 = 0 $

$y^2 +8y +16 = 0 $

$(y+4)^2=0$

che ci dà $y = 4$

quindi i punti di intersezione tra la retta $ x = -2$ e la circonferenza $ \gamma$ è soltanto uno: il punto $(-2;4)$. Di conseguenza, per definizione di retta tangente, la retta $ x=-3$ è tangente alla circonferenza.

 

Esercizio 180

Si svolge come l'esercizio precedente quindi facciamo solo i conti senza spiegazioni.

$P(9; 0)$  $ \gamma: \ x^2+y^2 -6x -4y + 9 = 0 $

Retta generica passante per $P$ : $ 0 = 9m + q \Rightarrow q = -9m$

$y = mx -9m $

$\begin{cases} x^2+y^2 -6x -4y + 9 = 0 \\ y = mx -9m \end{cases} $

$\begin{cases} x^2+( mx -9m)^2 -6x -4( mx -9m) + 9 = 0 \\ y = mx -9m \end{cases} $

che ci porta a risolvere:

$x^2+( mx -9m)^2 -6x -4( mx -9m) + 9 = 0 $

$x^2 +m^2 x^2 + 81m^2 -18m^2 x -6x -4mx +36 m + 9 = 0$

$ x^2(1+m^2)+ x(-18m^2 -4m-6) +81m^2 +36m+9 = 0 $

Imponiamo $\frac{\Delta}{4} = 0 $

$(-9m^2-2m-3)^2 -(1+m^2)(81m^2+36m+9) = 0 $

$81m^4 +4m^2 +9 +36m^3 +54m^2 +12m -81m^2-36m-9-81m^4-36m^3-9m^2 = 0 $

$-32m^2  -24 m= 0 $

$m(-32m-24)= 0  \ \ \Rightarrow \ m= 0 \vee m = \frac{24}{32}= \frac34$

quindi otteniamo:

con $m = 0 \Rightarrow y = 0$

con $m = \frac34 \Rightarrow y = \frac34 x -\frac34 \cdot 9 $

$y = \frac34 x -\frac{27}{4} $

Ecco il n.180

 

Avrei potuto se tu gli esercizi li avessi o trascritti o fotografati in modo che si riuscisse a leggerli.

Il numero 196 è analogo al n.193