[Risolto] Geometria1 Topologia

Ciao! Ho dovuto ripescare qualche nozione di topologia dunque non vi è il 100% di sicurezza che non ci siano errori, quindi fai un pochino attenzione e eventualmente non esitare a commentare se c'è qualche sbaglio!

EDIT: avevo letto male la definizione di $S$, ho corretto!

$S$ a me viene così: il "triangolino" compreso tra le curve

dove gli archi di $x_1^3$ e $-x_1^3$ sono esclusi, la retta $x_1 = 1$ è compresa, ma l'origine è escluso perché viene escluso dalle curve.

La topologia indotta da $\mathbb{R}^2$ un un qualsiasi sottinsieme $S$ è abbastanza intuitiva: prendo un aperto di $\mathbb{R}^2$, lo interseco con l'insieme ed ecco trovato un aperto dell'insieme con la topologia indotta. 

Quindi per vedere se un insieme $A$ è un aperto di $S$ con la topologia indotta basta pensare se $A$ può essere ottenuto dall'intersezione tra un aperto $B$ di $\mathbb{R}^2$ (che ovviamente deve contenere $A$ o, al limite, essere proprio $A$) intersecandolo con $S$.

Detto questo, pensiamo ad $U$ come a un inseme di $\mathbb{R}^2$ quindi $(\frac{1}{n+1}, 0) \in \mathbb{R}^2$.

La sua chiusura sarebbe $A:=[0,1] \times \{0 \} $, ma $ A \cap S = (0,1] \times \{ 0 \}$ (perché l'insieme $S$ non comprende l'origine dunque la chiusura di $U$ nella topologia indotta da $\mathbb{R}^2$ su $S$ è $(0,1] \times \{ 0 \} $

Per quanto riguarda $V$, invece, pensato come insieme di $\mathbb{R}^2$ avrebbe interno $B:= (\frac12; + \infty) \times \mathbb{R} $, ma dovendolo intersecare con $S$ otteniamo che l'interno di $V$ nella topologia indotta da $\mathbb{R}^2$ su $S$ è: 

$ B \cap S = (\frac12; 1] \times [-x_1^3; x_1^3] $ ovvero l'insieme che ha, sulle $x$, l'intervallo $(\frac12; 1]$, mentre sulle $y$ è compreso tra le due curve.