Procediamo con il confronto asintotico.
Se risulta a > 0 non ci sono problemi in un intorno di 0 :
il numeratore, posto sin (1/x) = u, per quanto sin (1/x) non abbia limite per x ->0 +, è u*|u|^a che sicuramente è compreso fra - 1 e 1 ( a > 0 )
Il denominatore D è dato da e^(sin(x)) * ( 1 - e^(-1/x) ) e per x->0+ tende a
e^0 * (1 - e^(-w)) con w->+oo = 1*(1-0) = 1.
Passiamo ad un intorno di +oo
Il numeratore è assimilabile a 1/x * 1/(x^a) = 1/x^(a+1)
perchè sin 1/x è positivo e quindi il valore assoluto non opera e inoltre se
v = 1/x in base al limite notevole lim_v->0 sin(v)/v = 1 si può sostituire
sin(1/x) con il suo argomento "1/x".
Il denominatore è e^(sin x) * (1 - e^(-1/x))
il primo fattore non ha limite all'infinito ma essendo compreso fra 1/e ed e
non incide sulla convergenza
Il secondo fattore 1 - e^(-1/x) ( poichè 1/x ->0+ quando x -> +oo )
equivale a 1 - ( 1 - 1/x + o(1/x) ) = 1/x ( sviluppo di McLaurin )
per cui l'intera funzione ha lo stesso comportamento di K (1/x)^(a+1) : 1/x =
= K/x^a = K x^(-a)
Le primitive vanno come K' x^(-a+1) e l'integrale converge se risulta
-a + 1 < 0 => a - 1 > 0 => a > 1
9
punti
Livello 0
Livello 6