Nel grafico è rappresentata la funzione:
f(x)=(ax-1)/(x^2+b)
a. Determina a e b
b. Trova l’equazione della retta r e verifica che è tangente a f(x) in (0;1)
c. Determina l’area della regione finita R delimitata dal grafico f(x) e dalla retta r
Nel grafico è rappresentata la funzione:
f(x)=(ax-1)/(x^2+b)
a. Determina a e b
b. Trova l’equazione della retta r e verifica che è tangente a f(x) in (0;1)
c. Determina l’area della regione finita R delimitata dal grafico f(x) e dalla retta r
16
punti
Livello 0
y = (a·x + 1)/(x^2 + b)
{1 = (a·0 + 1)/(0^2 + b) passa per [0, 1]
{0 = (a·1 + 1)/(1^2 + b) passa per [1, 0]
Risolvo:
{1 = 1/b
{0 = (a + 1)/(b + 1)
ed ottengo: [a = -1 ∧ b = 1]
Funzione: y = (1 - x)/(x^2 + 1)
retta per i due punti: y = 1 - x
y'= dy/dx= (x^2 - 2·x - 1)/(x^2 + 1)^2
per x=0: y'=m=(0^2 - 2·0 - 1)/(0^2 + 1)^2= -1 OK
Calcolo integrale:
(1 - x) - (1 - x)/(x^2 + 1) = (x - 1)/(x^2 + 1) - x + 1
∫((x - 1)/(x^2 + 1) - x + 1)dx= - ATAN(x) + LN(x^2 + 1)/2 - x^2/2 + x
valutato tra x = 0 ed x = 1
- ATAN(1) + LN(1^2 + 1)/2 - 1^2/2 + 1= LN(2)/2 - pi/4 + 1/2
- ATAN(0) + LN(0^2 + 1)/2 - 0^2/2 + 0 = 0
Quindi area R = LN(2)/2 - pi/4 + 1/2
97986
punti
Genius II