[Risolto] Esercitazione su iperbole

Ciao di nuovo.

{x^2/12 - y^2/27 = -1

{y = k

procedo per sostituzione:

x^2/12 - k^2/27 + 1 = 0------> (9·x^2 - 4·(k^2 - 27))/108 = 0

quindi:  9·x^2 - 4·(k^2 - 27) = 0-----> x = - 2·√(k^2 - 27)/3 ∨ x = 2·√(k^2 - 27)/3

quindi base BC=4·√(k^2 - 27)/3 altezza k

1/2·(4·√(k^2 - 27)/3)·k = 12--------> 2·k·√(k^2 - 27)/3 = 12

√(k^2 - 27) = 18/k

elevo al quadrato:

k^2 - 27 = 324/k^2------> k^2 = t

quindi: t^2 - 27·t - 324 = 0 risolvo ed ottengo:

t = 36 ∨ t = -9 la seconda non interessa perché negativa

Quindi k^2=36------> k = -6 ∨ k = 6

Se ti serve solo il calcolo del valore di k per cui l'area S(BCO) = 12 l'aiuto sono le considerazioni sull'area del triangolo di base b = |BC| e altezza h = |k|.
* S(BCO) = |b*k|/2 = 12 ≡ b = 24/|k|
per cui ti basta calcolare, dall'iperbole già determinata nei punti che hai risolto, i due valori di k per cui le intersezioni sono a distanza 24/|k|.

SECONDA RISPOSTA
Caro Beppe, dopo aver terminato alle 10h 10' le terapie del mattino apro ∫σ∫ e mi guardo le varie notifiche, arrivate nel cuor della notte e durante la mattina delle persone normali, e che ti trovo? Due tue notifiche delle ore piccole: un messaggio privato "all'alba delle h. 01.10" con cui dici "Ti riscrivo brevemente il problema" cosa che, se non avessi aggiunto "data una iperbole di equazione x^2/12 - y^2/27 = -1" m'avrebbe fatto irritare perché già t'avevo scritto che senza il contesto originale io non mi orizzonto per nulla; e poi, meno male, il commento "all'alba delle ore 01,35" così mi riporti al contesto originale che mi consente questa seconda risposta.
------------------------------
PREMESSA: io, privo di facoltà telepatiche, rispondo solo a ciò che leggo.
---------------
Nella domanda originale avevo letto "Ho già risolto tutti i punti eccetto l'ultimo, cioè quello del valore di k ..." e m'ero elencato "tutti i punti"
1) centro nell'origine O
2) un fuoco di coordinate F(0; rad 39)
3) passante per il punto A (2; 6)
4) asintoti
5) eccentricità
6) punti B e C
7) k tale che S(BCO) = 12
e avevo risposto al solo punto sette, dando per scontato che tu il punto sei già ce l'avessi anche se non avevi pubblicato nulla dei punti da uno a sei.
---------------
SUGGERIMENTI PER IL FUTURO
Pubblica ciò che hai fatto, non ciò che non hai fatto: quello si deduce dalla domanda, è superfluo raccontarlo.
I "mezzi informatici limitati" possono essere potenziati dall'uso di WolframAlpha ( www.wolframalpha.com ) non solo per i grafici, ma per un sacco di cose utili.
---------------
SI', E' POSSIBILE SPIEGARE LA PROCEDURA PASSAGGIO PER PASSAGGIO
I punti comuni (d'intersezione o di tangenza) fra i grafici di una retta e di una conica sono, se ne esistono, le soluzioni reali del sistema fra le loro equazioni.
Tale sistema ha per risolvente un'equazione di secondo grado in y se la retta è parallela all'asse y o in x in ogni altro caso. Il segno del discriminante Δ di tale risolvente determina la natura delle soluzioni: Δ < 0 ≡ retta esterna alla conica; Δ = 0 ≡ retta tangente la conica; Δ > 0 ≡ retta secante la conica.
Il sistema
* (y = k) & (x^2/12 - y^2/27 = - 1)
ha risolvente
* x^2/12 - k^2/27 + 1 = 0 ≡
≡ x^2 = 12*(k^2/27 - 1) ≡
≡ x = ± (2/3)*√(k^2 - 27)
da cui
* B(- (2/3)*√(k^2 - 27), k), C(+ (2/3)*√(k^2 - 27), k)
* |BC| = (4/3)*√(k^2 - 27) = 24/|k| ≡
≡ (4/3)*√(k^2 - 27) = 24/√(k^2) ≡
≡ (√(k^2))*√(k^2 - 27) = 24/(4/3) ≡
≡ √(k^4 - 27*k^2) = 18 ≡
≡ k^4 - 27*k^2 = 18^2 ≡
≡ k^4 - 27*k^2 - 324 = 0 ≡
≡ (k^2 + 9)*(k + 6)*(k - 6) = 0 ≡
≡ k in {± i*3, ± 6}
ET DE HOC SATIS DICTUM EST.