Esercizio su iperbole

Question

Data l'iperbole x^2/4 - y^2/b^2 = 1, determina b in modo tale che il suo grafico risulti tangente alla retta passante per A (-2; -1) e parallela a y= x + 2. Calcola, poi, e

Risposte : b = rad 3; e = rad 7/2

Ho calcolato l'equazione della retta passante per il punto assegnato e avente m = 1 ; ho trovato y = x + 1 , poi ho provato a mettere a sistema l'equazione dell'iperbole con quella della retta e determinare la condizione di tangenza, ponendo delta = 0, ma mi ritrovo con 2 incognite e quindi non riesco a trovare b.

Grazie come sempre a chi vorrà darmi un aiuto e l'indicazione esatta per risolvere il problema.

Autore

Risposta

Beppe

(@beppe)

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26/05/2022 19:11

exProf · Accepted Answer

Si chiede di calcolare l'eccentricità di quell'iperbole del fascio
* Γ(b) ≡ (x/2)^2 - (y/b)^2 = 1
che ha tangente la retta t per A(- 2, - 1) parallela alla y = x + 2, cioè di pendenza uno; vale a dire
* t ≡ y = x + 1
---------------
L'eccentricità dell'iperbole
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
con i semiassi (a, b) positivi, è il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse trasverso
* e = c/a = √(a^2 + b^2)/a
che, per a = 2, diventa
* e = √(2^2 + b^2)/2 = √(1 + (b/2)^2)
---------------
Il sistema
* t & Γ(b) ≡ (y = x + 1) & ((x/2)^2 - (y/b)^2 = 1)
ha risolvente
* (x/2)^2 - ((x + 1)/b)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (b^2 - 4)*x^2 - 8*x - 4*(b^2 + 1) = 0
con discriminante
* Δ(b) = 16*(b^2 - 3)*b^2
che, per la tangenza, deva azzerarsi.
---------------
* (16*(b^2 - 3)*b^2 = 0) & (b > 0) ≡ b = √3
da cui
* Γ(b) ≡ (x/2)^2 - (y/√3)^2 = 1
* e = √(1 + (b/2)^2) = √(1 + (√3/2)^2) = √7/2

exProf

(@exprof)

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26/05/2022 20:20

[Risolto] Esercizio su iperbole

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