PASSAGGI E FORMULE DA SAPERE
Date le rette
* r ≡ x - y = 0 ≡ y = x (di pendenza 1)
* s ≡ 3*x + 2*y - 10 = 0 ≡ y = 5 - (3/2)*x (di pendenza - 3/2)
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a) Intersecare due rette di pendenze diverse: nessuna formula; e i soli passaggi risolutivi del sistema
* (y = x) & (y = 5 - (3/2)*x) ≡
≡ (y = x) & (5 - (3/2)*x - y = 0) ≡
≡ (y = x) & (5 - (3/2)*x - x = 0) ≡
≡ (y = x) & (5 - (5/2)*x = 0) ≡
≡ (y = x) & (x = 2)
da cui P(2, 2)
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b) Formule: rette per P; pendenze di rette ortogonali; retta per P di data pendenza; passaggio da equazione cartesiana a equazioni parametriche.
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b1) Per il punto P(u, v) passano tutte e sole le rette:
* x = u, parallela all'asse y;
* y = v + m*(x - u), per ogni pendenza m reale.
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b2) Se una retta è parallela a un asse, le sue ortogonali sono parallele all'altro.
Se una retta ha pendenza m, le sue ortogonali hanno pendenza antinversa m' = - 1/m.
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b3) La retta per P, ortogonale a una di pendenza m, è
* y = v - (x - u)/m
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b4) Le equazioni parametriche di una retta parallela a un asse non sono significative. Quelle della retta di equazione
* y = m*x + q
si ricavano dall'espressione del suo punto cursore P(k, m*k + q) nominandone le coordinate
* y = m*x + q → P(k, m*k + q) → (x = k) & (y = m*k + q)
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b5) Passaggi
La retta s ha pendenza m = - 3/2, quella richiesta avrà m' = 2/3.
La retta per P(2, 2) di pendenza m' = 2/3 è
* y = 2 + (2/3)*(x - 2) = (2/3)*(x + 1) ≡
≡ (x = k) & (y = (2/3)*(k + 1))
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c) Formule: distanza fra punti; circonferenza.
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c1) La distanza d fra due dati punti A(a, p) e B(b, q), cioè la lunghezza del segmento AB, è
* d = |AB| = √((a - b)^2 + (p - q)^2)
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c2) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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c3) Passaggi
La circonferenza centrata in O(0, 0) e che passa per P(2, 2) ha per raggio la distanza |OP|, che è il modulo del raggio vettore di P
* Γ ≡ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (0 - 2)^2 + (0 - 2)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 = 8
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d) La direzione del vettore v(w, h) che, incoccato nell'origine O, ha la punta nel punto V(w, h) è l'inclinazione θ della congiungente OV; cioè
* per w < 0, θ = π + arctg(h/w)
* per w = 0, θ = π/2
* per w > 0, θ = arctg(h/w)
Il verso, su quella direzione, dipende dal quadrante in cui cade V(w, h).
