Equazioni e parabole

Hai speso due minuti per leggere il regolamento del sito? Evidentemente no, dato che hai postato due esercizi e nel regolamento è scritto chiaramente che si può postare un solo esercizio alla volta.

Dire "Buongiorno" alle ore 20:28 non depone bene sulla tua capacità di comprendere la risposta che sto per scriverti, ma io sono fiducioso e la scrivo egualmente (se non altro come benvenuto!).
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A) Questa domanda è in palese violazione del § 2.1 del
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
di questo sito che, immagino, tu abbia accuratamente letto prima di pubblicare la tua prima domanda. Come dici? No, non l'hai letto? Beh, leggilo!
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B) L'esercizio #1 è banaluccio: capirne i passaggi è un processo lineare.
Se due curve sono tangenti nel punto T vuol dire che da quel punto passano entrambe e che ci passano con la stessa pendenza.
Una retta che non sia parallela all'asse y ha pendenza costante, invece una parabola ha pendenza variabile e differente punto per punto.
Quindi l'esercizio si risolve come segue.
"il suo punto di ascissa x = - 1" ha ordinata y = - (- 1)^2 + 2*(- 1) + 3 = 0.
Il punto di tangenza è T(- 1, 0).
La parabola
* y = - x^2 + 2*x + 3
ha pendenza
* dy/dx = m(x) = 2*(1 - x)
che su T vale
* m(- 1) = 2*(1 - (- 1)) = 4
Perciò il problema si riduce a "trovare la retta per T di pendenza m = 4"
* y = yT + m*(x - xT) ≡
≡ y = 0 + 4*(x - (- 1)) ≡
≡ y = 4*(x + 1)
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C) L'esercizio #2 invece è un guaio: si tratta di un problema indeterminato per carenza di vincoli.
"Determina l'equazione della parabola" AL SINGOLARE È IMPOSSIBILE.
Di parabole col vertice V(3, - 4) che passano per P(2, - 3) ce ne sono un'infinità.
Te ne scrivo un paio, tanto per esempio.
* x = 3 - (y + 4)^2
* y = (x - 3)^2 - 4
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Per un difetto nel software di questo sito non posso mettere qui link che contengano segni di addizione, quindi per vedere il grafico (e il paragrafo "Real solutions") devi accedere alla pagina http://www.wolframalpha.com
e fare Copia/Incolla nella sua casella di input del comando
[x=3-(y+4)^2,y=(x-3)^2-4]
così puoi verificare che entrambe soddisfanno ai requisiti.
Se immagini di ruotare l'asse di simmetria variando l'apertura della parabola ti convinci che se ne possono tracciare infinite.
Per capire i passaggi di quest'esercizio occorre prima aggiungere al testo ulteriori requisiti.