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[Risolto] Equazioni di secondo grado

  

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Ho un urgente bisogno di una spiegazione sulle equazioni di secondo grado 

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Un'equazione è un'espressione algebrica ben formata composta da due espressioni algebriche ben formate, dette membri, prive dell'operatore "=" di eguaglianza e separate da uno di essi.
Il primo passaggio nella risoluzione consiste nel sottrarre membro a membro uno dei membri per ottenere la forma normale canonica
* f(variabili) = 0
L'equazione si dice "razionale intera di grado n" se la funzione a primo membro è un polinomio di grado n.
Dicendo "Equazioni di secondo grado" senz'altra precisazione s'intende che quel polinomio sia di grado due e in una sola variabile che, per convenzione si indica con la lettera ics minuscola.
Quindi
la forma normale canonica di un'equazione di secondo grado è
* p(x) = a*x^2 + b*x + c = 0
con (a, b, c, x) reali, dove il coefficiente direttore "a" non è zero, altrimenti p(x) sarebbe di grado uno.
Non essendo zero è lecito dividere l'equazione membro a membro per "a", ottenendo
* p(x) = a*T(x)
dove
* T(x) = x^2 - s*x + p = 0
è il trinomio quadratico monico con
* s = - b/a
* p = c/a
che ha gli stessi zeri del p(x) originario.
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Nel VII secolo l'indiano Bramegupta pubblicò una procedura generale, consistente nei pochi passaggi che seguono, per scomporre il trinomio T(x) nel prodotto di due binomi di grado uno il cui azzeramento fornisce le radici dell'equazione di secondo grado.
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A) Completare il quadrato dei termini variabili; sostituire; esprimere il termine noto come opposto di un quadrato.
* x^2 - s*x = (x - s/2)^2 - (s/2)^2
* T(x) = (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p = 0 ≡
≡ (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 = 0
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B) Applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati"; applicare la legge d'annullamento del prodotto; distinguere le radici dell'equazione di secondo grado.
* T(x) = (x - s/2)^2 - (√(s^2 - 4*p)/2)^2 = 0 ≡
≡ (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)*(x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2) = 0 ≡
≡ (x - s/2 + √(s^2 - 4*p)/2 = 0) oppure (x - s/2 - √(s^2 - 4*p)/2 = 0) ≡
≡ (X1 = s/2 - √(s^2 - 4*p)/2) oppure (X2 = s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)
La soluzione di p(x) = 0 è l'insieme {X1, X2} dei due zeri di T(x).
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L'espressione "s^2 - 4*p" si chiama il "discriminante di p(x)" e si denota con la lettera greca delta maiuscola
* Δ = s^2 - 4*p
Secondo il segno di Δ muta la natura della soluzione.
* se Δ < 0 allora √Δ è immaginaria e le radici {X1, X2} sono complesse coniugate;
* se Δ = 0 allora √Δ è zero e le radici {X1 = X2} sono reali ed eguali;
* se Δ > 0 allora √Δ è positiva e le radici {X1 < X2} sono reali e distinte.
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Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 sulle radici si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in due equazioni in k.



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