[Risolto] Es matematica

NB. Per k=0 la funzione coincide con la funzione nulla. Consideriamo il caso k≠ 0

 

1. Dominio = ℝ ; per ogni k≠ 0

La funzione è continua e derivabile per ogni x dove è definita.

 

2. Simmetrie (pari/dispari)

y(-x) = kx/(x²+1) = -y(x);  per ogni k≠ 0

Le funzioni sono dispari (simmetria rispetto l'origine degli assi)

 

3. Segno e zeri

y(x) = 0 per x=0  per ogni k≠ 0

• per ogni k > 0

y(x) < 0 per x > 0

y(x) > 0 per x < 0

• per ogni k < 0 si ottengono i risultati opposti. In seguito ti lascerò lo sviluppo per k < 0.

 

4. limiti e asintoti

lim(x→±∞)y(x) = 0;  per ogni k≠ 0

Le funzioni ammettono un asintoto orizzontale di equazione y = 0.

 

5. Massimi e minimi relativi per k > 0.

• derivata prima y'(x) = -k(x²-1)/(x²+1)
• punti stazionari y'(x) = 0 per x = ±1 coerentemente con la simmetria.  
• Massimi/minimi. 
  • Massimo per x=-1 dove la funzione vale y(-1) = 1/(k²+1)
  • minimo per x = 1 dove la funzione vale y(1) = 1/(k²+1)

possiamo dimostrare in vari modi che trattasi di minimo e massimo senza far uso della derivata seconda. Ne propongo due.

i)  Per Weirestrass generalizzato devono esistere almeno un punto di massimo assoluto/relativo e un punto di minimo assoluto/relativo. Abbiamo solo due punti stazionari quindi quello positivo sarà il massimo e quello negativo il minimo.

ii) Analisi del segno della derivata prima.

Considero solo il caso x > 0 (estenderemo il risultato sfruttando la simmetria)

• y'(x) = 0 per x = +1
• y'(x) > 0 per x > 1 ne consegue che le funzioni y(x) per k > 0 sono crescenti in (1,+oo)
• y'(x) < 0 per 0 < x < 1 ne consegue che le funzioni y(x) per k > 0 sono decrescenti in (0,1)

Le funzioni sono decrescenti alla sinistra del punto stazionario e crescenti alla destra quindi si tratta di un minimo.

0..............1................

-------------0+++++++  -k(x²-1)

+++++++++++++++   (x²+1)

-------------0+++++++   y'(x)

......↘........=......↗........   y(x)

Per simmetria avremo un massimo per x=-1 

 

6. Convessità, concavità, flessi per k > 0

• derivata seconda y"(x) = -2kx(x²-3)/(x²+1)³
• segno derivata seconda
  • y"(x) = 0 per x=0 V x=±√3
  • y"(x) < 0 in (-∞,-√3) U (0,√3) in questi due intervalli le funzioni sono convesse.
  • y"(x) > 0 in (-√3,0) U (√3,+∞) in questi due intervalli le funzioni sono concave.

In tutti i tre punti è presente un cambio di concavità quindi si trattano di 3 punti di flesso.

Per studiare la derivata seconda occorre prima calcolarla
* f(x) = - k*x/(x^2 + 1)
* f'(x) = k*(x^2 - 1)/(x^2 + 1)^2
* f''(x) = - 2*k*x*(x^2 - 3)/(x^2 + 1)^3
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Tutt'e tre le funzioni {f, f', f''} sono identicamente nulle per k = 0, e per k != 0 sono definite reali ovunque in quanto rapporto fra un polinomio di grado {uno, due, tre} e uno di grado {due, quattro, sei} positivo ovunque con un minimo nell'origine.
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La funzione
* f''(x) = y = - 2*k*(x + √3)*x*(x - √3)/(x^2 + 1)^3
ha tre zeri reali {- √3, 0, √3} che sono le ascisse dei flessi della funzione f(x).
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La funzione
* f'(x) = y = k*(x + 1)*(x - 1)/(x^2 + 1)^2
ha due zeri reali {- 1, 1} che sono le ascisse degli estremi della funzione f(x).
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La funzione
* f(x) = y = - k*x/(x^2 + 1)
ha solo lo zero reale nell'origine.
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Nei punti d'estremo e di flesso le ordinate e le pendenze sono i corrispondenti valori di f(x) e di f'(x), mentre il segno dei valori di f''(x) è concorde col semiasse y verso cui volge la concavità di f(x).
Nel formato {x, f(x), f'(x), f''(x)} i valori sono
{- √3, (√3/4)*k, k/8, 0}
{- 1, k/2, 0, - k/2}
{0, 0, - k, 0}
{1, - k/2, 0, k/2}
{√3, - (√3/4)*k, k/8, 0}
da cui si vede che le tangenti nei flessi simmetrici sono parallele di pendenza k/8
* y = + (√3/4)*k + (k/8)*(x + √3)
* y = - (√3/4)*k + (k/8)*(x - √3)
mentre quella nel flesso centrale ha pendenza - k
* y = - k*x
e si vede anche che il tipo degli estremi in {- 1, 1} dipende dal segno di k
* per k < 0, in {- 1, 1} si ha {massimo, minimo}
* per k > 0, in {- 1, 1} si ha {minimo, massimo}
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-k*x%2F%28x%5E2%2B1%29%2C%28k*x%2B4*y%29%5E3%3D27*%28k*x%2By%2By*x%5E2%29*k%5E2%5D+where+k%3D-1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-k*x%2F%28x%5E2%2B1%29%2C%28k*x%2B4*y%29%5E3%3D27*%28k*x%2By%2By*x%5E2%29*k%5E2%5D+where+k%3D1
e ad altri link che puoi studiare da te stessa modificando l'assegnazione a fine riga.