Data l'equazione parametrica $k x^2-x+k=x^2-3 k x+1$ :
a. determina il valore di $k$ che riduce l'equazione al primo grado.
b. Per quali valori di $k$ ammette due soluzioni reali e coincidenti? Determina tali soluzioni.
c. Per quali valorí di $k$ si riduce ad un'equazione pura?
$\left[b \cdot k=-1: x_{1,2}=-1 ; k=\frac{3}{5}: x_{12}=1\right]$
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Livello 0
k·x^2 - x + k = x^2 - 3·k·x + 1
riportiamola alla forma normale:
k·x^2 - x + k - (x^2 - 3·k·x + 1) = 0
x^2·(k - 1) + x·(3·k - 1) + k - 1 = 0
Diventa di 1° grado ponendo:
k - 1 = 0-----> k = 1
Ammette due valori reali e coincidenti se:
Δ = 0 posto che sia k ≠ 1
quindi:
(3·k - 1)^2 - 4·(k - 1)^2 = 0
(9·k^2 - 6·k + 1) - (4·k^2 - 8·k + 4) = 0
5·k^2 + 2·k - 3 = 0
Risolvo ed ottengo:
k = 3/5 ∨ k = -1
per k = 3/5
x^2·(3/5 - 1) + x·(3·(3/5) - 1) + 3/5 - 1 = 0
- 2·x^2/5 + 4·x/5 - 2/5 = 0
(- 2·x^2/5 + 4·x/5 - 2/5 = 0)·(- 5/2)
x^2 - 2·x + 1 = 0
(x - 1)^2 = 0------> x = 1
Per k=-1
x^2·(-1 - 1) + x·(3·(-1) - 1) + -1 - 1 = 0
- 2·x^2 - 4·x - 2 = 0
(- 2·x^2 - 4·x - 2 = 0)·(- 1/2)
x^2 + 2·x + 1 = 0
(x + 1)^2 = 0---> x = -1
Diventa pura se
3·k - 1 = 0----> k = 1/3
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Genius III
@lucianop 👍👍
a) La forma normale é
(k - 1) x^2 + (3k - 1) x + k - 1 = 0
ed é di primo grado se k - 1 = 0 => k = 1
b) Occorre che il delta sia uguale a 0
(3k - 1)^2 - 4(k - 1)^2 = 0
(3k - 1 - 2k + 2) (3k - 1 + 2k - 2) = 0
(k + 1) (5k - 3) = 0 => k = -1 V 3/5
Se delta = 0 allora x1,x2 = -B/(2A) = (1-3k)/(2k-2)
per k = -1, x = 4/(-4) = -1
per k = 3/5, x = (1 - 9/5)/(6/5 - 2) = -4/5 : (-4/5) = 1
c) per essere pura deve risultare 3k - 1 = 0 => k = 1/3
e diventa -2/3 x^2 - 2/3 = 0 => x^2 + 1 = 0 che é impossibile.
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Livello 7
@eidosm 👍👍
