Data l'equazione $(2 x-3 a)(2 x+3 a)+5 a^{2}$ $=2 a x^{2}-(x+2 a)^{2}$ i determina $a$ in modo chei
a. la soluzione non nulla dell'equazione sia negativas
b. l'equazione sia equivalente a $3 x^{2}+4 x=0$.
Salve, non ho capito come impostare il punto a di questo esercizio. Qualcuno può aiutarmi? Grazie
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Livello 1
L'impostazione è comune ai due punti e consiste nel ridurre la scrittura a una qualche forma normale di cui sia agevole studiare le proprietà.
* (2*x - 3*a)*(2*x + 3*a) + 5*a^2 = 2*a*x^2 - (x + 2*a)^2 ≡
≡ (2*x - 3*a)*(2*x + 3*a) + 5*a^2 - (2*a*x^2 - (x + 2*a)^2) = 0 ≡
≡ (5 - 2*a)*x^2 + 4*a*x = 0 ≡
≡ ((5 - 2*a)*x + 4*a)*x = 0 ≡
≡ (x = 0) oppure (x = 4*a/(2*a - 5)) & (a != 5/2)
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Da tale soluzione generica si vede che il solo caso particolare è a = 5/2, per cui
* (2*x - 3*5/2)*(2*x + 3*5/2) + 5*(5/2)^2 = 2*(5/2)*x^2 - (x + 2*5/2)^2 ≡
≡ 4*x^2 - 25 = 4*x^2 - 10*x - 25 ≡
≡ x = 0
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Pertanto la soluzione completa è l'unione di due radici condizionate
* (a = 5/2) & (x = 0)
oppure
* (a != 5/2) & (x = 4*a/(2*a - 5))
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FINE DELL'IMPOSTAZIONE
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a) La radice non nulla è negativa per
* (a != 5/2) & (4*a/(2*a - 5) < 0) ≡ 0 < a < 5/2
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b) Per ottenere l'equivalenza
* (5 - 2*a)*x^2 + 4*a*x = 0 ≡ 3*x^2 + 4*x = 0
occorre e basta
* (5 - 2*a = 3) & (a = 1)
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Genius I
Ciao.
(2·x - 3·a)·(2·x + 3·a) + 5·a^2 = 2·a·x^2 - (x + 2·a)^2
(4·x^2 - 9·a^2) + 5·a^2 = 2·a·x^2 - (x^2 + 4·a·x + 4·a^2)
4·x^2 - 4·a^2 = 2·a·x^2 - (x^2 + 4·a·x + 4·a^2)
2·a·x^2 - (x^2 + 4·a·x + 4·a^2) - (4·x^2 - 4·a^2) = 0
x^2·(2·a - 5) - 4·a·x = 0
x·(x·(2·a - 5) - 4·a) = 0
Soluzione: x = 4·a/(2·a - 5) ∨ x = 0
quindi:
4·a/(2·a - 5) < 0
risolvo:
0 < a < 5/2
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Vediamo i valori di a per cui l'equazione:
3·x^2 + 4·x = 0 è equivalente a x = - 4/3 ∨ x = 0
quindi si deve porre:
4·a/(2·a - 5) = - 4/3
12·a = - 4·(2·a - 5) -----> 12·a = 20 - 8·a-----> 20·a = 20-----> a = 1
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Genius II
