Calcolare quante soluzioni ha la seguente equazione: $$\bar{z}-1 = 3i|z|^2$$
Calcolare quante soluzioni ha la seguente equazione: $$\bar{z}-1 = 3i|z|^2$$
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Livello 0
Ciao, la tua equazione complessa è equivalente ad un sistema di equazioni reali per i coefficienti $x$ e $y$ del numero complesso $z$:
$$x-iy-1 = 3i(x^2+y^2) \Rightarrow (x-1)-i(y+3x^2+3y^2) = 0$$
$$\left\{ \begin{array}{ll} x-1=0 \\ y+3x^2+3y^2=0 \end{array} \right.$$
Sostituendo $x=1$ nella seconda equazione si ha:
$$3y^2+y+3=0 \Rightarrow \Delta =-35<0$$
Ricordando che $x$ e $y$ devono essere numeri reali, si conclude che l’equazione è impossibile.
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Livello 2
Purtroppo sono un po' arrugginito sulle equazioni con i numeri complessi, ma a me viene che non esistono soluzioni. Se vuoi ti posto i conti che ho fatto, ma prima vorrei che qualche altro utente confermasse il risultato 🙂
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Livello 9
@sebastiano Ho postato la risposta. Confermo il tuo risultato.
@Simon: grazie mille. l'ho fatto sia con la rappresentazione rettangolare che con quella esponenziale e mi tornava in entrambi i casi impossibile, ma è un po' (anni) che non le risolvo e non ero sicurissimo 🙂
HA DUE SOLUZIONI
* Z1 = (6 + √35 - i)/6
* Z2 = (6 - √35 - i)/6
AGGIUNTA (dopo la nota di Sebastiano)
Può darsi che abbia sbagliato la riduzione a forma canonica: valgono le due soluzioni verificate con WolframAlpha.
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Con
* z = x + i*y = ρ * e^(i*θ) = ρ * (cos(θ) + i*sen(θ))
* z' = x - i*y
* |z| = ρ = |x + i*y| = √(z*z') = √(x^2 + y^2)
la tua equazione diviene
* z' - 1 = i*3*|z|^2 ≡
≡ x - i*y - 1 = i*3*(x^2 + y^2) ≡
≡ x - 1 - i*y = i*3*(x^2 + y^2) ≡
≡ (x - 1 = 0) & (- y = 3*(x^2 + y^2)) ≡
≡ (x = 1) & (- y = 3*(1 + y^2)) ≡
≡ (x = 1) & (3*y^2 + y + 3 = 0) ≡
≡ (x = 1) & (3*(y - (- 1 - i*√35)/6)*(y - (- 1 + i*√35)/6) = 0) ≡
≡ le soluzioni riportate in testa
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CONTROPROVA nel paragrafo "Result" ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x-i*y-1%3Di*3*%28x%5E2%2By%5E2%29where+x%3D1%2Cy%3D%28-1-i*%E2%88%9A35%29%2F6
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x-i*y-1%3Di*3*%28x%5E2%2By%5E2%29where+x%3D1%2Cy%3D%28-1%2Bi*%E2%88%9A35%29%2F6
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Genius I
@exprof sei sicuro della tua soluzione? io ho provato a sostituire le tue soluzioni nell'equazione e non riesco a farla tornare un'identità. secondo me la tua soluzione non è giusta, in quanto quando scrivi che $z=x+iy$, assumi che sia $x$ che $y$ siano reali, e quando risolvi l'eq. di secondo grado $3y^2+y+3=0$ le soluzioni in y sono complesse coniugate, quindi non può essere giusta.
Non so se hai guardato i calcoli di verifica su WolframAlpha, se no guardali. Può darsi benissimo che nel semplificare le soluzioni abbia preso lucciole per lanterne, ma quella seconda verifica non l'ho fatta.
Venendo al merito dell'obiezione, ritengo che la scrittura "z = x + i*y" sia una normalissima sostituzione algebrica priva di significati esoterici. So bene che è intesa come rappresentazione di una coppia ordinata di reali, ma riconosco anche che attribuendo valore complesso a x o a y o a entrambi ci si può sempre ridurre a una forma equivalente "z = a + i*b" con (a, b) reali.
@exprof quello che dici è ovvio, resta il fatto che le soluzioni da te trovate non sono giuste (o almeno io non riesco a far tornare un'identità). Se non fai la controprova non puoi sapere se sono giuste. E non ti fidare mai troppo dei software, lo dico per esperienza lavorando nel campo dei software di simulazione.
@exprof ho ricontrollato tutto e ti posso dire dove hai sbagliato: hai assunto che il modulo di z possa essere scritto come $x^2+y^2$, ma questo è vero solo se x e y sono reali. Ottenendo una y complessa, l'espressione $y^2$ ti esce complessa, quindi anche $x^2+y^2$ risulta complessa, e pertanto non può rappresentare il modulo di un numero complesso. In definitiva, hai risolto un'equazione differente da quella data. 🙂