[Risolto] Equazione letterale fratta

Ho sempre consigliato ai miei alunni che, piuttosto di avere "paura di aver sbagliato qualcosa" alla fine, è assai più economico seguire fin dall'inizio una qualche procedura a prova d'errore anche se costa qualche noia in più di quella che poi ti fa venire le incertezze.
Una possibile procedura a bassa probabilità d'errore è di spezzare i calcoli in due fasi: prima portare l'equazione a una qualche forma normale nota, poi applicare una collaudata procedura risolutiva per la forma nota.
Nel caso in esame l'equazione è fra termini che sono rapporti di polinomi nelle lettere "x, a" intese nei ruoli di "incognita, parametro" e le equazioni di questo tipo si riconducono a un sistema fra un polinomio monico in x eguagliato a zero (p(x) = 0) e le condizioni restrittive derivanti dall'imporre che nessun denominatore si azzeri.
Il sistema si risolve trattando i casi che azzerano qualche coefficiente separatamente dal caso generale a cui s'aggiungono le condizioni restrittive derivanti dall'imporre che il parametro non annulli alcun coefficiente.
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Fase 1: dalla forma data alla forma nota.
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A) Sottrarre membro a membro il secondo membro.
* 2/(x + 3*a) - (4*x + 1)/(x - 3*a) = 12*a/(9*a^2 - x^2) ≡
≡ 2/(x + 3*a) - (4*x + 1)/(x - 3*a) - 12*a/(9*a^2 - x^2) = 0 ≡
≡ 2/(x + 3*a) - (4*x + 1)/(x - 3*a) + 12*a/(x^2 - (3*a)^2) = 0 ≡
≡ 2/(x + 3*a) - (4*x + 1)/(x - 3*a) + 12*a/((x + 3*a)*(x - 3*a)) = 0
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B) Ridurre il primo membro a una funzione razionale fratta: f(x) = N(x)/D(x).
* 2/(x + 3*a) - (4*x + 1)/(x - 3*a) + 12*a/((x + 3*a)*(x - 3*a)) =
= 2*(x - 3*a)/((x + 3*a)*(x - 3*a)) - (4*x + 1)*(x + 3*a)/((x + 3*a)*(x - 3*a)) + 12*a/((x + 3*a)*(x - 3*a)) =
= (2*(x - 3*a) - (4*x + 1)*(x + 3*a) + 12*a)/(x^2 - (3*a)^2) =
= (4*x^2 + (12*a - 1)*x - 3*a)/(9*a^2 - x^2) = N(x)/D(x)
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C) Scrivere la forma nota.
f(x) = N(x)/D(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0) ≡
≡ (x != ± 3*a) & (4*x^2 + (12*a - 1)*x - 3*a = 0) ≡
≡ (x^2 + 3*(a - 1/12)*x - 3*a/4 = 0) & (x ∉ {- 3*a, 3*a})
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Fase 2: dalla forma nota alla soluzione (l'insieme delle radici, al massimo quante il grado di p(x)).
* (x^2 + 3*(a - 1/12)*x - 3*a/4 = 0) & (x ∉ {- 3*a, 3*a})
ha due coefficienti parametrici, quindi due soli casi particolari.
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D1) Per a = 0 (caso particolare).
* (x^2 + 3*(0 - 1/12)*x - 3*0/4 = 0) & (x ∉ {- 3*0, 3*0}) ≡
≡ ((x = 0) oppure (x = 1/4)) & (x != 0) ≡
≡ x = 1/4
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D2) Per a = 1/12 (caso particolare).
* (x^2 + 3*(1/12 - 1/12)*x - 3*(1/12)/4 = 0) & (x ∉ {- 3*1/12, 3*1/12}) ≡
≡ (x^2 - 1/16 = 0) & (x ∉ {- 1/4, 1/4}) ≡
≡ (x = ± 1/4) & (x ∉ {- 1/4, 1/4}) ≡
≡ insieme vuoto
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D3) Per a ∉ {0, 1/12} (caso generale).
* (x^2 + 3*(a - 1/12)*x - 3*a/4 = 0) & (x ∉ {- 3*a, 3*a}) & (a ∉ {0, 1/12}) ≡
≡ ((x = - 3*a) oppure (x = 1/4)) & (x ∉ {- 3*a, 3*a}) & (a ∉ {0, 1/12}) ≡
≡ (x = 1/4)) & (a ∉ {0, 1/12})

è tutta giusta 

I passaggi mi sembrano corretti -- il mio é diverso ma porta alla stessa forma normale.

La parte che non hai scritto é che deve essere +- 3a =/= 1/4 => a =/= +- 1/12

altrimenti anche l'altra soluzione non é accettabile e l'equazione é impossibile.