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[Risolto] Equazione differenziale del 2° ordine lineare  

  

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assegnata la seguente equazione differenziale del 2° ordine lineare a coefficienti costanti omogenea ;

y''-4y'-12y=0

  1. se ne determini l'integrale generale e successivamente l'integrale particolare passante per P(0.1) ed avente ivi tangente coefficiente angolare m=-2
1 Risposta
2

* k^2 - 4*k - 12 = (k + 2)*(k - 6) = 0 ≡
≡ (k = - 2) oppure (k = 6)
da cui
* y = A*e^(6*x) + B/e^(2*x)
* y' = m(x) = 6*A*e^(6*x) - 2*B/e^(2*x)
------------------------------
Il passaggio per P(0, 1) impone il vincolo
* 1 = A*e^(6*0) + B/e^(2*0) ≡ B = 1 - A
da cui
* y = A*e^(6*x) + (1 - A)/e^(2*x)
* y' = m(x) = 6*A*e^(6*x) - 2*(1 - A)/e^(2*x)
------------------------------
"avente ivi tangente coefficiente angolare m=-2" impone il vincolo
* m(0) = 6*A*e^(6*0) - 2*(1 - A)/e^(2*0) = - 2 ≡ A = 0
da cui
* y = e^(- 2*x)
* y' = m(x) = - 2*e^(- 2*x)
* y'' = 4*e^(- 2*x)
* y'' - 4*y' - 12*y =
= 4*e^(- 2*x) - 4*(- 2*e^(- 2*x)) - 12*e^(- 2*x) =
= 4*e^(- 2*x) + 8*e^(- 2*x) - 12*e^(- 2*x) =
= 0
QED
* y = e^(- 2*0) = 0
* y' = m(0) = - 2*e^(- 2*0) = - 2
QED

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