[Risolto] EquaIone al variare di a

Con a reale l'equazione complicata
* x^(3*a) + x^(2*a) - 10*x^a + 8 = 0 ≡
≡ (x^a)^3 + (x^a)^2 - 10*(x^a) + 8 = 0 ≡
≡ (x^a = u) & (u^3 + u^2 - 10*u + 8 = 0)
si riduce a un sistema fra un'esponenziale elementare e una razionale cubica.
NB
Non trattandosi di una disequazione d'ordine, non occorrono restrizioni sui valori di x: è sufficiente che soddisfacciano all'equazione.
NB2
Per ispezione si vede che:
* se a = 0 allora ogni x soddisfà;
* se x = 1 allora ogni a soddisfà.
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La cubica si risolve per scomposizione, cercando gli eventuali zeri razionali fra i divisore del termine noto
* {- 8, - 4, - 2, - 1, 1, 2, 4, 8}
e trovandoli tutt'e tre
* u^3 + u^2 - 10*u + 8 = 0 ≡
≡ (u + 4)*(u - 1)*(u - 2) = 0 ≡
≡ (u = - 4) oppure (u = 1) oppure (u = 2)
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Con i tre valori trovati si formano le tre esponenziali alternative che si risolvono per potenza a esponente reale con a != 0
* x^(3*a) + x^(2*a) - 10*x^a + 8 = 0 ≡
≡ (x^a = - 4) oppure (x^a = 1) oppure (x^a = 2) ≡
≡ (x = (- 4)^(1/a)) oppure (x = 1^(1/a)) oppure (x = 2^(1/a)) ≡
≡ (x = (4^(1/a))*(cos(π/a) + i*sin(π/a))) oppure (x = 1) oppure (x = 2^(1/a))
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LE RADICI AL VARIARE DEL PARAMETRO reale a
1) per ogni valore reale: una radice reale, X0 = 1.
2) per ogni valore non nullo: due altre radici
2a) una reale, X1 = 2^(1/a);
2a1) per a < 0 si ha 0 < X1 < 1;
2a2) per a > 0 si ha X1 > 1;
2b) una complessa, di modulo (X1)^2, X2 = (4^(1/a))*(cos(π/a) + i*sin(π/a)).

x^a = t

con t >= 0

t^3 + t^2 - 10 t + 8 = 0

non é un cubo di binomio

perché i tripli prodotti non corrispondono

applicando la regola di Ruffini t = 1 é una soluzione

(t^2 + kt - 8) ( t - 1) = 0

t^3 + (k - 1)t^2 - (k + 8) t + 8 = 0

k - 1 = 1
k + 8 = 10

k = 2

t^2 + 2t - 8 = 0

t^2 + 2t + 1 = 9

t + 1 = +- 3

t = 2 V t = -4

Dunque

x^a = 2 V x^a = -4

x^a = 1

se a > 0 x = 1 e x ^ 2^(1/a)

se a = 0

x^0 = 1 é indeterminata

se a < 0

x^a = 1 V x^a = 2

x = 1 V x = 2^(1/a) = (1/2)^(1/|a|)

x^(-|a|) = 1

x^a = -4 é impossibile a meno che non sia x = -4 e a = 1

o più in generale a intero dispari e x = (-4)^(1/a)