Esercitazione su parabola

@Beppe

Ciao Beppe, 

L'equazione data rappresenta una parabola se:

b≠2

Se b=2 l'equazione data rappresenta una retta: y=(1/2)*x

Se b=0  ==> x = - 2y²

Se b=2 ==> x = 2y

a) Le coordinate del fuoco per una parabola con asse // asse x sono:

Nell' esercizio dato deve valere la condizione:

(1 - b²) /(4* (b - 2)) > 0

Quindi:

N(x) >0 se  - 1<b<1

D(x) >0 se         b>2

Volendo l'ascissa del fuoco positiva, deve essere:

b< - 1  v  1 < b < 2

b) basta ricordare che per una parabola con asse di simmetria // asse x, la concavità risulta:

La parabola avrà concavità verso la direzione positiva dell'asse x se:

b - 2 > 0  ==> b> 2

L'equazione
* Γ(b) ≡ x = (b - 2)*y^2 + b*y ≡
≡ b*(y^2 + y) - (x + 2*y^2) = 0 ≡
≡ x = ((b - 2)*y + b)*y ≡
≡ x = (b - 2)*(y + b/(2*b - 4))^2 + b^2/(8 - 4*b)
rappresenta il fascio di parabole per l'origine composto dalla retta semplice
* Γ(2) ≡ x = (2 - 2)*y^2 + 2*y ≡ y = x/2
dalla parabola esclusa "y^2 + y = 0", degenere nella coppia di parallele y = 0 e y = - 1, e dalle parabole Γ(b != 2) con
* asse di simmetria parallelo all'asse x
* punti comuni all'asse y (0, 0) oppure (0, b/(2 - b))
* apertura a = b - 2
* distanza focale |VF| = |Vd| = f = 1/(4*|a|)
* vertice V(b^2/(8 - 4*b), b/(4 - 2*b))
* fuoco F(b^2/(8 - 4*b) + 1/(4*(b - 2)), b/(4 - 2*b))
* direttrice d ≡ x = b^2/(8 - 4*b) - 1/(4*(b - 2))
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L'eventuale secondo punto base si determina intersecando due elementi del fascio
* Γ(0) ≡ x = (0 - 2)*y^2 + 0*y ≡ x = - 2*y^2
* Γ(1) ≡ x = (1 - 2)*y^2 + 1*y ≡ x = y*(1 - y)
da
* (x = - 2*y^2) & (x = y*(1 - y)) ≡
≡ (- 2, - 1) oppure (0, 0)
si vede che Γ(b) è un fascio di secanti.
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RISPOSTE AI QUESITI
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0) "... rappresenta una parabola per ogni valore di b?" OVVIAMENTE NO.
Come tutti i fasci di parabole con apertura parametrica ha una retta semplice per a = 0, cioè per b = 2.
ATTENZIONE: il risultato atteso è GROSSOLANAMENTE ERRATO.
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a) "per quali valori di b il fuoco ha ascissa positiva"
* xF = b^2/(8 - 4*b) + 1/(4*(b - 2)) =
= - (b + 1)*(b - 1)/(4*(b - 2)) > 0 ≡
≡ (b + 1)*(b - 1)*(b - 2) < 0 ≡
≡ (b < - 1) oppure (1 < b < 2)
Il risultato atteso è CORRETTO.
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b) "per quali valori di b la parabola rivolge la concavità verso la direzione positiva dell'asse x" ≡ "per quali valori di b la parabola ha apertura positiva" ≡
≡ a = b - 2 > 0 ≡ b > 2
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3) "nell'ultimo non riesco a capire cosa chiede l'esercizio"
Ogni parabola con asse di simmetria parallelo a un asse coordinato ha equazione esplicitabile nella variabile di quell'asse con a secondo membro un trinomio quadratico nell'altra variabile.
Il coefficiente direttore del trinomio, "a", decide la forma e l'orientamento della parabola:
* la forma perché la distanza focale f = 1/(4*|a|), perciò a si chiama apertura;
* l'orientamento perché il fuoco è sull'asse alla coordinata del vertice "+ 1/(4*a)" (e la direttrice a "- 1/(4*a)") e poiché il fuoco è all'interno della concavità
** se a < 0 allora la concavità si rivolge verso il semiasse negativo;
** se a > 0 allora la concavità si rivolge verso il semiasse positivo.

Ciao di nuovo.

x = (b - 2)·y^2 + b·y

equazione di una parabola ad asse orizzontale, passante per l'origine, sempre che sia:

b - 2 ≠ 0------> b ≠ 2

Per b=2 degenera in una retta passante per l'origine.

Con i simboli classici scriviamo: x = a·y^2 + b·y + c

a = b - 2

b = b

c = 0

quindi: Δ = b^2 nel nostro caso

Il fuoco ha coordinate:  F[(1 - b^2)/(4·a), - b/(2·a)]

Quindi:

(1 - b^2)/(4·a) > 0------> (1 - b^2)/(4·(b - 2)) > 0 che risolta fornisce:

1 < b < 2 ∨ b < -1

affinché il fuoco della parabola del fascio abbia ascissa positiva.