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[Risolto] Eq. secondo grado con numeri bruttini

  

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Ciao a tutti, ho la seugente equazione:
$2x^2-\left(5\sqrt{5}-6\right)x+2=0$

Togliendo la parentesi e calcolando il discriminante, quest'ultimo viene: $145-60\sqrt{5}$.

Applicando la formula risolutiva viene così:

$\frac{5\sqrt{5}-6\pm \sqrt{145-60\sqrt{5}}}{4}$.

A questo punto cerco di sbarazzarmi del radicale doppio, ho portato il 60 dentro radice ottenendo $\frac{5\sqrt{5}-6\pm \\sqrt{145-\sqrt{\left(18000\right)}}}{4}$ per poi applicare la formula risolutiva dei radicali doppi, dunque\pm \:\frac{145+\sqrt{\left(145\right)^2-\left(18000\right)}}{2}$ .
Ora, continuando su questa strada e svolgendo tutti i calcoli son giunto alle soluzioni corrette ovvero:
$x_1=\:2\left(\sqrt{5}-2\right)$
$x_2=\:\frac{\sqrt{5}+2}{2}$
Mi chiedevo però se non ci fosse un modo per ridurre drasticamente quei numeri lassù o un metodo di risoluzione alternativo, di solito gli esercizi (almeno quelli che faccio io) non presentano mai numeri così grossi e di solito se son presenti, è perché non si riesce a vedere qualcosa.
C'è dunque qualche semplificazione che non riesco proprio a scorgere o la difficoltà di quest'equazione son proprio questi numeri? Anche perché operando sempre carta e penna cercando di non utilizzare il meno possibile la calcolatrice, mi son ritrovato a dover fare calcoli quasi interminabili haha!
Grazie in anticipo. 🖐️ 

Autore

Edit: Non posso più modificare il testo e mi son reso conto che ho fatto un errore di trascrizione nella formula dei radicali doppi, quella corretta è: $\sqrt{\frac{145+\sqrt{\left(145\right)^2-18000}}{2}}-\sqrt{\frac{145-\sqrt{\left(145\right)^2-18000}}{2}}$
Non ha molto importanza poiché ho svolto l'esercizio però era per darvi l'idea dei numeri che vengono! ☹️ 

2 Risposte



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Per attaccare l'equazione di secondo grado "con numeri bruttini" (un radicale!)
* 2*x^2 - (5*√5 - 6)*x + 2 = 0
è strano che ti sia venuta per prima l'idea di un'operazione inutile.
La cosa utile, da fare per prima, è di dividere per il coefficiente direttore
* 2*x^2 - (5*√5 - 6)*x + 2 = 0 ≡
≡ x^2 - (5*√5/2 - 3)*x + 1 = 0
cosa che, evidenziando somma (s) e prodotto (p) delle radici,
* p(x) = x^2 - s*x + p = 0
ti mostra, con p = 1, che le radici (r) sono reciproche.
------------------------------
Con il discriminante (differenza di quadrati) e la sua radice quadrata
* Δ = s^2 − 4*p = (5*√5/2 - 3)^2 − 4*1 =
= (5*√5/2 - 3)^2 − 2^2 = (5*√5 - 2)*(5*√5 - 10)/4 =
= (145 - 60*√5)/4 = ((10 - 3*√5)/2)^2
* √Δ = (10 - 3*√5)/2
si formano le radici
* X1 = (s - √Δ)/2 = (5*√5/2 - 3 - (10 - 3*√5)/2)/2 = 2*(√5 - 2) = r
* X2 = (s + √Δ)/2 = (5*√5/2 - 3 + (10 - 3*√5)/2)/2 = (√5 + 2)/2 = 1/r
------------------------------
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2-%285*%E2%88%9A5%2F2-3%29*x%2B1%3D%28x-2*%28%E2%88%9A5-2%29%29*%28x-%28%E2%88%9A5%2B2%29%2F2%29



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Se riesci a farti venire in mente che 145 - 60 rad(5) = 100 - 2*30 rad(5) + 45 =

= 10^2 - 2*3 rad(5) *10 + (3 rad(5))^2 = ( 10 - 3 rad(5))^2

 

puoi non usare i radicali doppi ...

@eidosm Grazie davvero, in questo modo si risolve l'equazione in due secondi! Da solo non ci sarei arrivato. E' già la seconda volta che ho questo problema di non riuscire a vedere possibili scomposizioni con i radicali. Esistono esercizi specifici che posso fare per migliorare in questa cosa? 



Risposta




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