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[Risolto] Ellisse tangente a retta

  

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Scrivi l’equazione dell’ellisse tangente alla retta di equazione x+2y=4 nel suo punto di ascissa 1.

Io mi sono trovato il punto di ascissa 1, cioè P(1;3/2), ma poi come devo procedere? Ho provato a sostituirlo nell’equazione canonica dell’ellisse, ma ho sempre due incognite: a e b. Che devo fare?

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@giuseppe23

Ciao. Se conosci le formule di sdoppiamento, e vuoi trovare l'equazione canonica dell'ellisse:

x^2/α + y^2/β = 1

avendo posto:

{α = a^2

{β = b^2

Ti ricavi, come hai fatto, il punto di tangenza:

x + 2·y = 4  per x=1-----> 1 + 2·y = 4-------> y = 3/2 

Quindi in P(1,3/2)

Poi procedi con il metodo delle formule di sdoppiamento:

1·x/α + 3/2·y/β = 1

x/α + 3·y/(2·β) = 1

Quindi, dividi per 4 l'equazione della retta data:

(x + 2·y)/4 = 1------> x/4 + y/2 = 1

Determini quindi :

{1/α = 1/4

{3/(2·β) = 1/2

Quindi ottieni:

{α = 4

{ β = 3

quindi la desiderata ellisse: x^2/4 + y^2/3 = 1

image

@lucianop ciao, non riesco ha capire perchè dovrei dividere per 4?



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La retta
* t ≡ x + 2*y = 4 ≡ y = 2 - x/2
nel suo punto T(1, 3/2) è tangente non una singola ellisse, ma una molteplice infinità di ellissi. Quindi quello che hai pubblicato è un problema indeterminato per carenza di vincoli. Può essere che tu abbia trascritto solo uno di un gruppo di esercizi senza trascrivere le istruzioni che sono in testa al gruppo? O che ne abbia trascritto una forma riassunta (male) da te?
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"Che devo fare?"
Se aggiorni la domanda con una trascrizione CARATTERE PER CARATTERE di tutto, di certo si capirà meglio l'intento dell'Autore.
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"... l'equazione canonica dell'ellisse, ..."
E chi t'ha autorizzato? Il testo non dice "ellisse riferita ai suoi assi", dice solo "ellisse" cioè
* Γ ≡ A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
mentre "ellisse riferita ai suoi assi" vuol dire
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
con soli DUE parametri invece di SEI: "eccosì so bboni tutti!".
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Se è solo questo che cerchi e non l'hai saputo chiedere, bastano pochi passaggi.
Devi, come hai già fatto, imporre anzitutto il vincolo d'appartenenza
* (1/a)^2 + ((3/2)/b)^2 = 1
da cui
* (a > 1) & (b = (3/2)*a/√(a^2 - 1))
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/((3/2)*a/√(a^2 - 1)))^2 = 1
e poi imporre il vincolo di tangenza, cioè che si azzeri il discriminante della risolvente dell'intersezione
* t & Γ ≡ (y = 2 - x/2) & ((x/a)^2 + (y/((3/2)*a/√(a^2 - 1)))^2 = 1)
Risolvente
* (x/a)^2 + ((2 - x/2)/((3/2)*a/√(a^2 - 1)))^2 - 1 = 0
Discriminante
* Δ(a) = ((2/3)*(a^2 - 4)/a^2)^2
Vincolo di tangenza
* (((2/3)*(a^2 - 4)/a^2)^2 = 0) & (a > 0) ≡ a = 2
---------------
CONCLUDENDO
* a = 2
* b = (3/2)*2/√(2^2 - 1) = √3
* Γ ≡ (x/2)^2 + (y/√3)^2 = 1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D2-x%2F2%2C%28x%2F2%29%5E2%3D1-%28y%2F%E2%88%9A3%29%5E2%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-3to3

 



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