[Risolto] Ellisse

L'equazione
* Γ(k) ≡ k*x^2 + y^2 = 1 ≡ x^2/(1/k) + y^2/1^2 = 1
rappresenta un fascio di coniche centrate nell'origine e con asse/i su quelli coordinati.
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Per k < 0
* Γ(k) ≡ k*x^2 + y^2 = 1 ≡ x^2/(1/|k|) - y^2/1^2 = - 1
rappresenta iperboli con fuochi sull'asse y.
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Per k = 0
* Γ(k) ≡ y^2 = 1 ≡ y = ± 1
rappresenta una parabola degenere su due parallele simmetriche all'asse x.
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Per k > 0
* Γ(k) ≡ k*x^2 + y^2 = 1 ≡ x^2/(1/k) + y^2/1^2 = 1
rappresenta ellissi con fuochi
* sull'asse x se 1/√k > 1 ≡ 0 < k < 1
* sull'asse y se 1/√k < 1 ≡ k > 1
e in particolare, per k = 1
* Γ(1) ≡ x^2 + y^2 = 1
rappresenta la circonferenza di raggio uno.
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) Determinare per quali valori di k la Γ(k) rappresenta un'ellisse.
* (k > 0) & (k != 1)
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b) Determinare per quali valori di k la Γ(k) rappresenta un'ellisse di eccentricità 1/2.
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MINIRIPASSO
L'eccentricità "e" dell'ellisse di semiassi (a, b)
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
è il rapporto fra la semidistanza focale "c" e il semiasse maggiore
* e = c/max(a, b)
la semidistanza focale "c" è il cateto di un triangolo che ha il semiasse maggiore per ipotenusa e quello minore come altro cateto
* c = √((max(a, b))^2 - (min(a, b))^2)
quindi
* e = √(1 - (min(a, b)/max(a, b))^2)
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RISPOSTE
Per 0 < k < 1: a = 1/√k > 1 = b → e = √(1 - k) = 1/2 ≡ k = 3/4
Per k > 1: a = 1/√k < 1 = b → e = √(1 - 1/k) = 1/2 ≡ k = 4/3
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c) Trovare inoltre vertici e fuochi delle ellissi corrispondenti ai valori di k trovati al punto b.
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c1) Γ(3/4) ≡ x^2/(4/3) + y^2/1^2 = 1 → (a, b, c) = (2/√3, 1, 1/√3)
* F(± 1/√3, 0)
* V(± 2/√3, 0) oppure V(0, ± 1)
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c2) Γ(4/3) ≡ x^2/(3/4) + y^2/1^2 = 1 → (a, b, c) = (√3/2, 1, 1/2)
* F(0, ± 1/2)
* V(± √3/2, 0) oppure V(0, ± 1)
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c3) http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2%2F%284%2F3%29%3D1-y%5E2%2Cx%5E2%2F%283%2F4%29%3D1-y%5E2%5D

non lo so fare, c’è un errore del libro