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[Risolto] Elevamento a potenza in una disequazione  

  

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Ciao a tutti, se ho un elevamento a potenza dispari, ad esempio $\left(x-3\right)^3>\:0$ perché la soluzione è esattamente $x>3$?

Mi sembra di capire che per gli elevamenti dispari, l'esponente viene ignorato e semplicemente si applica il primo principio delle disequazioni. Vorrei capire però il perché.

Se fosse stato $\left(x-3\right)^2 $mi è chiaro il perché la soluzione sia $\forall x\in \mathbb{R}-\left\{3\right\}$ ma con l'esponente dispari non mi è molto chiaro.

Il dubbio mi è sorta da questa disequazione: $\displaystyle\frac{\left(1-x\right)^4\left(x-2\right)^3}{x\left(x-3\right)^2}>0$ che ho provato a risolvere senza svolgere alcun calcolo. Studiando poi ciascun segno ho avuto qualche difficoltà ma alla fine son riuscito a giungere al risultato finale. 

A proposito, se per esempio studio il segno di $\left(1-x\right)^4$, nel grafico, come lo devo rappresentare? Ho messo la linea continua lungo tutta la retta ed ho messo una nell'1 e mi chiedevo se fosse il modo corretto di rappresentarlo.

Ho lo stesso dubbio per le CE, come le devo rappresentare nel grafico? In alcuni video mettono la X, su un libro ho visto il simbolo non esiste messo nel grafico. (perché LaTex non prende $\nexists$ ?)

Grazie a chi risponderà 😊 

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2 Risposte
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DOMANDA 1

$(x-3)^{3}$>$0$

L’unico modo per cui una potenza con esponente dispari è >$0$ è quando la sua base è >$0$:

$x-3$>$0$

$x$>$3$

DOMANDA 2

$(x-3)^{2}$>$0$

Una potenza con esponente pari è sempre positiva, o nulla se la base è nulla.
Per cui la disequazione è sempre verificata eccetto quando:

$x-3=0$

$x=3$

Quindi la soluzione finale è per tutti i valori reali di $x$ tranne 3:

$\forall x\in \mathbb{R}-\left\{3\right\}$

DOMANDA 3

Lo studio del segno di $(1-x)^{4}>0$

$(1-x)^{4}$>$0$

$1-x\neq0$

$-x\neq-1$

$x\neq1$

13F956DF 711C 4909 8BCA 46A5C88CBD28

Lo studio del segno di $(1-x)^{4}\geq0$

$(1-x)^{4}\geq0$

$\forall{x}\in\Re$

DOMANDA 4

Come vuoi tu!

Puoi usare:

  • un pallino vuoto per escludere un valore (come faccio io)
  • oppure il simbolo ∄ se per quel determinato valore poi non c’è soluzione
  • o una X, con lo stesso significato del pallino vuoto

DOMANDA 5

Non lo so perché non funzioni il codice $\nexists$ !

Però puoi copiare e incollare questo:

Ora io non riesco più a vedere il codice LaTex... spero sia solo un mio problema temporaneo, altrimenti, più o meno, la risposta si può capire lo stesso.

@US Grazie della risposta! 
Anche io non posso più vedere LaTex in questa pagina, abbiamo rotto il sistema! 😆 

@sosmatematica vi segnaliamo un bug! 😆 

Eh sì... in realtà non è la prima volta che capita. L’altra volta nell’arco di qualche ora si era risolto mi sembra.

2

 

Affinché una base elevata a un esponente dispari dia un numero maggiore di zero è necessario che la base sia un numero positivo. 

Lo puoi osservare anche dal grafico della funzione y=x^n con n=2k+1, per le x maggiori di zero la funzione si trova nella parte superiore del sistema di assi cartesiani, mentre per le x<0 si trova al di sotto rispetto l'asse delle ascisse. 

@anguus90 Ho capito, non ci avevo pensato! 

Quindi se ad esempio avessi $\left(x+5\right)^{11}>\:0$ la soluzione sarà $x>-5$, altrimenti non sarebbe maggiore di 0 se ho capito bene 😀 

Esattamente! Infatti se provi a sostituire un numero minore di -5, supponiamo -7 avresti (-7+5)^11 , -2^11 , e elevando un numero negativo ad un esponente dispari ottieni un numero negativo. 

@anguus90 Tutto chiaro. Grazie mille 😊 

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