[Risolto] educazione finanziaria

La formula per calcolare il capitale y accumulato dopo x anni al tasso d'interesse composto annuo ì è y= yo (1+ì)^x, dove yo è il capitale iniziale. Determina la funzione inversa y=f^-1 (X) che permette di calcolare il tempo y (espresso in anni) necessario per accumulare un capitale di x euro, avendo depositato €10 000 al tasso di interesse composto annuo del 2,5%. Calcola dopo quanto tempo si possono riscuotere €11 000. 

Come si risolve?

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$M=$ montante;

$C=$ capitale inziale;

$i=$ tasso d'interesse annuo;

$n=$ numero di periodi;

montante $M= C(1+i)^n$;

formula inversa per calcolare il numero di periodi d'investimento:

$n= \dfrac{ln(\frac{M}{C})}{ln(1+i)} =\dfrac{ln\big(\frac{11000}{10000}\big)}{ln\big(1+\frac{2,5}{100}\big)} = \dfrac{ln\big(\frac{11}{10}\big)}{ln(1+0,025)}≅3,859866~anni$.

"Come si risolve?"
CASO ECCEZIONALE: contrariamente alla quasi totalità degli esercizi scolastici quest'esercizio ha un testo così ben scritto che si può risolvere soddisfacendo alle tre consegne nello stesso ordine in cui sono enunciate.
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1) Esaminare la struttura dell'equazione di capitalizzazione composta, esplicita nel montante (M = C*(1 + i)^n [C = y0 = Y]), come funzione del tempo x continuo
* y(x) = Y*(1 + i)^x
e riconoscerne la struttura: esponenziale di x (ma anche potenza di i).
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2) Invertire la funzione, in x.
Cioè, considerando costanti Y ed i, scrivere la funzione logaritmica (inversa dell'esponenziale) che espliciti x in funzione di y; poi scambiare i nomi.
* y = Y*(1 + i)^x ≡
≡ y/Y = F^x ≡
≡ log(F, y/Y) = log(F, F^x) ≡
≡ log(F, y/Y) = x ≡
≡ x(y) = ln(y/Y)/ln(F)
da cui
* y(x) = ln(x/Y)/ln(F)
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=inverse+function%5By%3DY*F%5Ex%5D
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3) Dati
* i = 2,5% = 1/40
* Y = 10000 = capitale C
* x = 11000 = montante M
si calcolano
* F = 1 + i = 41/40
* ln(41/40) = ln(41) - 3*ln(2) - ln(5) ~= 0.02469
* ln(11000/10000) = ln(11) - ln(2) - ln(5) ~= 0.09531
* y(11000) = ln(11000/10000)/ln(41/40) ~= 3.859866 anni =
= 3 anni + (12*0.859866 = 10.318392 mesi) =
= 3 anni + 10 mesi + ((61/2)*0.318392 = 9.710956 giorni) ~=
~= 3 anni, 10 mesi, 10 giorni

M = C(1+i)^n

log(M/C) = n*log(1+i)

log 1,1 = n*log (1+0,025)

annualità n = log 1,1 / log (1+0,025) = 3,860 anni pari a 3 anni , 10 mesi, 9,6 gg

y = yo (1 + i)^x

x = 10000 (1 + 0.025)^y

1.025^y = x/10000

y = log(x/10000)/log 1.025 questa é la funzione inversa

per x = 11000

y* = log 1.1/log 1.025 = 3.86 anni = 3 anni 10 mesi 10 giorni