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[Risolto] Dubbio risultato equazione irrazionale  

  

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Ciao a tutti, ho questa equazione: 

$\displaystyle\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x}=0$

Ho posto CE:

$\left\{\begin{matrix}
x\ge \:0\\
\:\sqrt{x}+x\ne \:0\\
\:\sqrt{x}-x\:\ne \:0\\
\end{matrix}\right.$ 

(Le forme $\neq$ 0 quanto fanno? Le devo lasciare così? O devo calcolare anch'esse come equazione irrazionali? 🤔 Se sì, alla fine dovrebbero fare $x\ne \pm \:1$?) 

Dopodiché ho svolto un po' di calcoli e mi son ritrovato a questo momento clou:

$\left(\sqrt{x}\right)\left(-3x+1\right)=-x^2-x.$

Qui per potermi sbarazzare della radice, ho elevato entrambi i membri alla seconda. Prima di far ciò, ho posto il secondo membro $\ge 0$ per la concordanza dei segni, quindi: $-x^2-x\ge 0$ dunque $-1\le \:x\le \:0$.

Ho continuato con i calcoli ed ho risolto l'equazione trovando come soluzioni:

$x_1=0$
$x_2=1$
$x_3=3+2\sqrt{2}$
$x_4=3-2\sqrt{2}$.

Quello che ho pensato è che per le CE e la CCS nessuna di queste soluzioni fosse accettabile, invece la soluzione dell'equazione è $3+2\sqrt{2}$ e non capisco dove sbaglio 🤔 

I calcoli scritti mi sembrano giusti, SymboLab mi dà le stesse soluzioni dell'equazione, ma qualcosa si è rotto fra le CE e la CCS a quanto sembra e non capisco dove 🤔 

Grazie a chi risponderà 🖐️ 

Ciao @iloveyou, credo che ci sia qualcosa di sbagliato nel momento clou 😂.

Comunque ora ti mostro come lo risolverei io...

@US lo sapevo! Maledetto momento clou, ha rovinato tutto! Mi puzzava troppo! 😆 

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PROCEDIMEMTO

$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x}=0$

$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}-\frac{-(1-\sqrt{x})}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}=0$

$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}-\frac{-1}{\sqrt{x}}=0$

$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x)+\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+x)}=0$

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x+1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+x)}=0$

$\frac{2\sqrt{x}-x+1}{\sqrt{x}+x}=0$

$2\sqrt{x}-x+1=0$

$2\sqrt{x}=x-1$ *

$4x=x^{2}-2x+1$

$-x^{2}+6x-1=0$

$x^{2}-6x+1=0$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}$

$x=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}$

$x=\frac{6\pm4\sqrt{2}}{2}$

$x=3\pm2\sqrt{2}$
 

$C.E.$

$\begin{cases}x\geq0\\\sqrt{x}+x\neq0\\\sqrt{x}-x\neq0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\geq0\\x\neq0\\x\neq0\wedge{x}\neq1\end{cases}\Rightarrow{x}\geq0\wedge{x}\neq1$

 

$Condizioni~concordanza~segno$

• vedi asterisco

$x-1\geq0\Rightarrow{x}\geq1$

 

SOLUZIONE

$x=3+\sqrt{2}$

@us
fra
$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x}=0$
e
$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}-\frac{-(1-\sqrt{x})}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}=0$,
cosa hai fatto?

Al numeratore della seconda frazione hai raccolto il -, a denominatore invece? 🤔 

@ILoveYou

Numeratore

• ho raccolto il meno

• ho semplificato $1-\sqrt{x}$

 

Denominatore 

A denominatore ho raccolto $\sqrt{x}$, infatti

$\sqrt{x}(1-\sqrt{x})=\sqrt{x}-(\sqrt{x})^{2}=\sqrt{x}-x$
 

Tutto chiaro? 😃

 

 

@us Forse oggi ho studiato fin troppo... 😆 

Hai $\sqrt{x}-x$ che poi diventa $\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}\right)^2$, perché?

Ti ringrazio per la pazienza 😆 

@Iloveyou, ho aggiornato delle cose nelle risposta (c’era una errore)... 

@us Okay niente è una scrittura equivalente, sto morendo, non capisco più una mazza  😆 😆 

Ho bisogno di staccare, grazie per la risposta 😉 

Va bene @ILoveYou, prego! 😃

Poi se ti serve aiuto sempre riguardo questa risposta, basta scrivere un commento... Ciao!

@us Il tuo è un metodo di risoluzione differente e corretto però ovviamente io non l'avrei mai fatta come te.

Il mio dubbio quindi persiste. 

Avendo come CE $x\ge 0,\:x\ne 0\:\wedge \:x\:\ne 1$
ed avendo la scrittura $\sqrt{x}\left(-3x+1\right)=\left(-x^2-x\right)$ non capisco perché applicando la CCS con $-1\le x\le 0$ il risultato dell'equazione sia $x=3+\sqrt{2}$. C'è qualcosa di sbagliato ma non riesco a vederlo. 

Stanotte non dormirò 🤪 

@ILoveYou

 

Ora ti spiego... (ci vorrà un po’ di tempo, ma non troppo).

@us Grazie mille! 🙏🙏🙏 Attendo con trepidazione 🤩 

@ILoveYou, dopo una lunga attesa 😄:

9843BDE6 1C6E 418D 853E 983903B0A583

Sono partito quasi direttamente dal punto in cui sei arrivato tu e non dall’inizio. 
 

Ricorda che $3+2\sqrt{2}\approx5,8$ e $3-2\sqrt{2}\approx0,17$

 

Guardatelo con calma, spero non ci siano errori di calcolo...

Se non ti torna qualcosa chiedi pure 😃

@ILoveYou, in realtà, credo che il tuo errore sia stato semplicemente dimenticare che $x\neq\frac{1}{3}$.

@us Non ci posso credere, arrivato a $\left(\sqrt{x}\right)\left(-3x+1\right)=-x^2-x$

ho dimenticato di dividere per $\left(-3x+1\right)$ e semplicemente l'ho lasciato lì... così a caso. HAHAHA mi viene da piangere, era tutto qui il problema. 

Non dimenticherò mai più di portare tutto a secondo membro la prossima volta.

Grazie mille, dovrebbero farti una statua 🙏

@ILoveYou, beh, anche io in effetti sono incredulo 😂, alla fine non c’era nessun errore in particolare.

Felice di averti aiutato, per me è un piacere.

Ciao! 😃

@us Ho imparato una cosa nuova ed essenziale. Fare gli esercizi soltanto dopo aver studiato benissimo la teoria e nel mio caso anche dopo aver fatto le flashcards. 

Se no, può capitare appunto questo. C'è sempre una prima volta... 😆  

Mille grazie, davvero!  😍 😍 😍 

@ILoveYou, sì, hai completamente ragione, la teoria in matematica è fondamentale, anche la pratica ovviamente, ma prima la teoria.

Prego! 😊😃

1

quando fai le CE sai già che x è positivo quindi radice(x) + x non sarà mai 0 e non ti dà problemi.

quando invece hai radice(x)-x=0 ti basta scrivere radice(x)=x e poi elevi (tanto sai già che i segni concordano).

quando alla fine vuoi far concordare ancora i segni ti sei dimenticata che anche il fattore (-3x+1) deve essere positivo, altrimenti rischi che una parte sia positiva ed una negativa!

quindi in realtà dovresti fare una tabella dei segni per vedere quando entrambi i fattori sono positivi. 

ti accorgerai che se x>1/3 entrambi i fattori sono negativi e quindi, parlando di equazioni, i segni concordano e puoi elevare al quadrato senza problemi.

tra le 4 soluzioni che hai scritto, solo la 3 va bene per tutto quanto!

scherzo ho scritto una mezza cavolata mi sa ahahah

@andreap sono confuso... 😆 

@andreap Se pongo $-3x+1\ge 0$ e $-x^2-x\ge 0$ si otterrà rispettivamente $x\le \frac{1}{3}$ e $-1\le x\le 0$, facendo il grafico dei segni e vedendo dove sono positivi, ottengo $x\ge -1$.

Per questo valore anche $3-2\sqrt{2}$ è accettabile come soluzione essendo $\:0.17157\dots$ no?

Se fai lo studio dei segni in realtà dovresti ottenere 0<x<1 e x>1/3 no? 

@andreap Prima parentesi:

$-3x+1\ge \:0\:\rightarrow \:-3x\ge \:-1\:\rightarrow +3x\le 1\:\rightarrow \:x\le \frac{1}{3}$

Seconda parentesi:

$-x^2-x\ge \:0\:\rightarrow \:x^2+x\le 0\:\rightarrow x\left(x+1\right)\le 0\:\rightarrow \:x_1=0\:\wedge \:x_2=-1\:$ dunque $-1\le \:x\le \:0$.

No?

 

@andreap Niente, sono un pollo, ho capito tutto! Grazie mille per l'aiuto 😆 

Ahahah figurati 😂👍

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