[Risolto] Dubbio risultato equazione irrazionale

PROCEDIMEMTO

$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x}=0$

$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}-\frac{-(1-\sqrt{x})}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})}=0$

$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}-\frac{-1}{\sqrt{x}}=0$

$\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}\frac{1}{\sqrt{x}}=0$

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x)+\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+x)}=0$

$\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x+1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+x)}=0$

$\frac{2\sqrt{x}-x+1}{\sqrt{x}+x}=0$

$2\sqrt{x}-x+1=0$

$2\sqrt{x}=x-1$ *

$4x=x^{2}-2x+1$

$-x^{2}+6x-1=0$

$x^{2}-6x+1=0$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}$

$x=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}$

$x=\frac{6\pm4\sqrt{2}}{2}$

$x=3\pm2\sqrt{2}$
 

$C.E.$

$\begin{cases}x\geq0\\\sqrt{x}+x\neq0\\\sqrt{x}-x\neq0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\geq0\\x\neq0\\x\neq0\wedge{x}\neq1\end{cases}\Rightarrow{x}\geq0\wedge{x}\neq1$

 

$Condizioni~concordanza~segno$

• vedi asterisco •

$x-1\geq0\Rightarrow{x}\geq1$

 

SOLUZIONE

$x=3+\sqrt{2}$

quando fai le CE sai già che x è positivo quindi radice(x) + x non sarà mai 0 e non ti dà problemi.

quando invece hai radice(x)-x=0 ti basta scrivere radice(x)=x e poi elevi (tanto sai già che i segni concordano).

quando alla fine vuoi far concordare ancora i segni ti sei dimenticata che anche il fattore (-3x+1) deve essere positivo, altrimenti rischi che una parte sia positiva ed una negativa!

quindi in realtà dovresti fare una tabella dei segni per vedere quando entrambi i fattori sono positivi. 

ti accorgerai che se x>1/3 entrambi i fattori sono negativi e quindi, parlando di equazioni, i segni concordano e puoi elevare al quadrato senza problemi.

tra le 4 soluzioni che hai scritto, solo la 3 va bene per tutto quanto!