Dubbio risultato equazione irrazionale

Question

Ciao a tutti, ho questa equazione:   displaystyle  frac { sqrt {x}-x}{ sqrt {x}+x}- frac { sqrt {x}-1}{ sqrt {x}-x}=0$ Ho posto CE:  left { begin {matrix}x ge :0 : sqrt {x}+x ne :0 : sqrt {x}-x: ne :0  end {matrix} right .$  (Le forme  neq 0 quanto fanno? Le devo lasciare così? O devo calcolare anch'esse come equazione irrazionali? 🤔 Se sì, alla fine dovrebbero fare x ne +/- :1$?)  Dopodiché ho svolto un po' di calcoli e mi son ritrovato a questo momento clou: ( sqrt {x})(-3x+1)=-x^2-x.$ Qui per potermi sbarazzare della radice, ho elevato entrambi i membri alla seconda. Prima di far ciò, ho posto il secondo membro  ge 0$ per la concordanza dei segni, quindi: $-x^2-x ge 0$ dunque $-1 le :x le :0$. Ho continuato con i calcoli ed ho risolto l'equazione trovando come soluzioni: x_1=0 x_2=1 x_3=3+2 sqrt {2} x_4=3-2 sqrt {2}. Quello che ho pensato è che per le CE e la CCS nessuna di queste soluzioni fosse accettabile, invece la soluzione dell'equazione è $3+2 sqrt {2} e non capisco dove sbaglio 🤔  I calcoli scritti mi sembrano giusti, SymboLab mi dà le stesse soluzioni dell'equazione, ma qualcosa si è rotto fra le CE e la CCS a quanto sembra e non capisco dove 🤔  Grazie a chi risponderà 🖐️

US · Accepted Answer

PROCEDIMEMTO  frac { sqrt {x}-x}{ sqrt {x}+x}- frac { sqrt {x}-1}{ sqrt {x}-x}=0$  frac { sqrt {x}-x}{ sqrt {x}+x}- frac {-(1- sqrt {x})}{ sqrt {x}(1- sqrt {x})}=0$  frac { sqrt {x}-x}{ sqrt {x}+x}- frac {-1}{ sqrt {x}}=0$  frac { sqrt {x}-x}{ sqrt {x}+x} frac {1}{ sqrt {x}}=0$  frac { sqrt {x}( sqrt {x}-x)+ sqrt {x}+x}{ sqrt {x}( sqrt {x}+x)}=0$  frac { sqrt {x}( sqrt {x}-x+1+ sqrt {x})}{ sqrt {x}( sqrt {x}+x)}=0$  frac {2 sqrt {x}-x+1}{ sqrt {x}+x}=0$ $2 sqrt {x}-x+1=0$ $2 sqrt {x}=x-1$ * $4x=x^{2}-2x+1$ $-x^{2}+6x-1=0$ x^{2}-6x+1=0$ x= frac {-b+/- sqrt { Delta }}{2a} x= frac {-(-6)+/- sqrt {(-6)^{2}-4.1.1}}{2.1} x= frac {6+/- sqrt {32}}{2} x= frac {6+/-4 sqrt {2}}{2} x=3+/-2 sqrt {2}  C.E.$  begin {cases}x geq 0 sqrt {x}+x neq 0 sqrt {x}-x neq 0 end {cases}=> begin {cases}x geq 0 x  neq 0 x  neq 0 wedge {x} neq 1 end {cases}=>{x} geq 0 wedge {x} neq 1$   Condizioni~concordanza~segno • vedi asterisco • x-1 geq 0=>{x} geq 1$   SOLUZIONE x=3+ sqrt {2}

AndreaP · Answer

quando fai le CE sai già che x è positivo quindi radice(x) + x non sarà mai 0 e non ti dà problemi.

quando invece hai radice(x)-x=0 ti basta scrivere radice(x)=x e poi elevi (tanto sai già che i segni concordano).

quando alla fine vuoi far concordare ancora i segni ti sei dimenticata che anche il fattore (-3x+1) deve essere positivo, altrimenti rischi che una parte sia positiva ed una negativa!

quindi in realtà dovresti fare una tabella dei segni per vedere quando entrambi i fattori sono positivi.

ti accorgerai che se x>1/3 entrambi i fattori sono negativi e quindi, parlando di equazioni, i segni concordano e puoi elevare al quadrato senza problemi.

tra le 4 soluzioni che hai scritto, solo la 3 va bene per tutto quanto!

AndreaP

(@andreap)

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13/07/2020 19:42

[Risolto] Dubbio risultato equazione irrazionale

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