Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] dimostrazioni geometria

  

1

Ciao a tutti, per favore mi aiutate con questa dimostrazione? Grazie in anticipo, questo è il testo del problema:

Due triangoli isosceli hanno congruenti l’angolo al vertice e uno dei lati che lo comprendono. Dimostra che i due triangoli sono congruenti.

Autore
Etichette discussione
3 Risposte



3

Parlando delle figure geometriche sappiamo che due figure qualsiasi si dicono $congruenti$ quanto mediante un movimento rigido è possibile sovrapporle in modo che coincidano punto a punto. Per indicare che due figure sono congruenti usiamo il simbolo : $\equiv$.

Veniamo ora alla dimostrazione :

Per dimostrare che due triangoli isosceli sono congruenti possiamo procedere in vari modi. Possiamo adottare i vari criteri di congruenza e dimostrare che essi realmente coincidano oppure abbozzare una nostra dimostrazione senza conoscere questi criteri. Vediamo di procedere nel secondo modo.

Innanzitutto mostriamo i due triangoli isosceli e cerchiamo di dimostrare l'enunciato a partire da essi :

angoli.triangolo.isoscele.1
angoli.triangolo.isoscele.1

 

L'enunciato è :

$Siano$ $due$ $triangoli$ $isosceli$. $Allora$ $essi$ $sono$ $congruenti$ $se$ $e$ $solo$ $se$ $hanno$ $congruenti$ $l$ $angolo$ $al$ $vertice$ $e$ $uno$ $dei$ $lati$ $che$ $lo$ $comprendono$.

 

$Dimostrazione$   

$\bigl($ $\Longrightarrow$ $\bigr)$

Consideriamo due triangoli $ABC$ e $A'$$B'$$C'$. Per ipotesi i triangoli sono isosceli, quindi li possiamo caratterizzare come triangoli con due lati uguali, o in alternativa come due angoli uguali. Inoltre questi due triangoli sono congruenti : $ABC$ $\equiv$ $A'$$B'$$C'$ ma questo significa che è possibile sovrapporli. Dunque se possiamo sovrapporli allora ogni loro lato ed ogni loro angolo risulta essere congruente e quindi sicuramente anche gli angoli al vertice e uno dei due lati che lo comprendono sono congruenti.

$\bigl($ $\Longleftarrow$ $\bigr)$

Consideriamo sempre i due triangoli $ABC$ e $A'$$B'$$C'$. Secondo l'enunciato i due triangoli hanno un angolo al vertice congruente ed anche uno dei due lati che lo comprendono. Chiamiamo il lato del primo triangolo $l$ e quello del secondo $l'$. Dunque abbiamo che $l$ $\equiv$ $l'$ $\iff$ $l$ $=$ $l'$. Inoltre abbiamo anche che l'angolo al vertice che chiamiamo $\beta$ $\equiv$ $\beta$' $\iff$ $\beta$ $=$ $\beta$'. Se notiamo bene l'immagine possiamo osservare che l'angolo al vertice $\beta$ del primo triangolo è incidente ad $l$ e analogamente $\beta$' è incidente a $l'$ nel secondo triangolo. Ma i triangoli sono isosceli, quindi i lati incidenti all'angolo al vertice sono necessariamente uguali e quindi congruenti, sia nel primo che nel secondo triangolo. Chiamiamo ora $s$ e $s'$ altri due lati incidenti all'angolo al vertice del primo e del secondo triangolo. Quindi avremo :

$\bigl($ $\beta$ $=$ $\beta$' $\iff$ $\beta$ $\equiv$ $\beta$' $\bigr)$ $\iff$ $\bigl($ $l$ $=$ $l$' $\iff$ $l$ $\equiv$ $l$' $\bigr)$ $\land$ 

$\bigl($ $\beta$ $=$ $\beta$' $\iff$ $\beta$ $\equiv$ $\beta$' $\bigr)$ $\iff$ $\bigl($ $s$ $=$ $s$' $\iff$ $s$ $\equiv$ $s$' $\bigr)$.

Detto ciò possiamo concludere che i due triangoli hanno due lati e un angolo congruente. Ora la domanda è : anche la base risulta essere congruente ad entrambi i triangoli? Proviamo a ragionare per assurdo e supponiamo che esse abbiano lunghezze diverse e che quindi non sono congruenti. Supponiamo che la base del primo triangolo risulta essere più lunga rispetto alla seconda. Ma a questo punto anche i due lati che prima risultavano essere congruenti non sono più sovrapponibili perché allungando la base, di conseguenza allunghiamo anche i due lati adiacenti. Ma ciò è una contraddizione perché per ipotesi i due lati incidenti all'angolo al vertice sono congruenti. Quindi necessariamente le basi $b$ e $b$' risultano essere congruenti. 

In conclusione i due triangoli $ABC$  e $A'$$B'$$C'$ sono congruenti.

 

 



4

Ciao! 
Concentriamoci su un triangolo. Esso è isoscele, quindi avrà due lati uguali (in generale, se lo disegni, saranno quello "obliqui") mentre il lato alla base è diverso. "L'angolo al vertice" è l'angolo compreso tra i due lati congruenti.
Già che ci siamo, un ripassino sugli angoli di un triangolo isoscele: i due alla base sono congruenti, mentre quello compreso tra i due lati congruenti è diverso dagli altri due angoli. 

Dato che i due triangoli sono isosceli e hanno congruente un lato obliquo (infatti, il lato obliquo è "uno dei lati che lo comprende") avranno congruente anche l'altro per proprietà transitiva! Infatti, se chiamiamo i lati obliqui del primo triangolo $a$ e $c$, e i lati obliqui del secondo triangolo $a'$ e $c'$ abbiamo che $a = c $ e $a'=c'$ perché sono triangoli isosceli, dato che il testo ci dice che due lati obliqui sono congruenti $a = a'$. ma per proprietà transitiva $a = a' = c'$ e $c = a = a' = c'$ quindi i quattro lati obliqui sono uguali.

Possiamo usare il primo criterio di congruenza dei triangoli (Lato-Angolo-Lato): dato che hanno congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, sono congruenti.



1

"Isoscele" , al pari di "trifase", non si declina  e tale rimane anche se riferito a più di uno !!

Il triangolo "isoscele" così si chiama per avere due lati uguali che staccano dal vertice, per cui se due triangoli hanno un tal lato congruente, in realtà ne hanno due con angolo compreso , il che rende i due triangoli uguali !!!



Risposta




SOS Matematica

4.6
SCARICA