Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] dimostrazioni geometria  

  

1

Ciao a tutti, per favore mi aiutate con questa dimostrazione? Grazie in anticipo, questo è il testo del problema:

Due triangoli isosceli hanno congruenti l’angolo al vertice e uno dei lati che lo comprendono. Dimostra che i due triangoli sono congruenti.

Etichette discussione
2 Risposte
2

Parlando delle figure geometriche sappiamo che due figure qualsiasi si dicono $congruenti$ quanto mediante un movimento rigido è possibile sovrapporle in modo che coincidano punto a punto. Per indicare che due figure sono congruenti usiamo il simbolo : $\equiv$.

Veniamo ora alla dimostrazione :

Per dimostrare che due triangoli isosceli sono congruenti possiamo procedere in vari modi. Possiamo adottare i vari criteri di congruenza e dimostrare che essi realmente coincidano oppure abbozzare una nostra dimostrazione senza conoscere questi criteri. Vediamo di procedere nel secondo modo.

Innanzitutto mostriamo i due triangoli isosceli e cerchiamo di dimostrare l'enunciato a partire da essi :

angoli.triangolo.isoscele.1
angoli.triangolo.isoscele.1

 

L'enunciato è :

$Siano$ $due$ $triangoli$ $isosceli$. $Allora$ $essi$ $sono$ $congruenti$ $se$ $e$ $solo$ $se$ $hanno$ $congruenti$ $l$ $angolo$ $al$ $vertice$ $e$ $uno$ $dei$ $lati$ $che$ $lo$ $comprendono$.

 

$Dimostrazione$   

$\bigl($ $\Longrightarrow$ $\bigr)$

Consideriamo due triangoli $ABC$ e $A'$$B'$$C'$. Per ipotesi i triangoli sono isosceli, quindi li possiamo caratterizzare come triangoli con due lati uguali, o in alternativa come due angoli uguali. Inoltre questi due triangoli sono congruenti : $ABC$ $\equiv$ $A'$$B'$$C'$ ma questo significa che è possibile sovrapporli. Dunque se possiamo sovrapporli allora ogni loro lato ed ogni loro angolo risulta essere congruente e quindi sicuramente anche gli angoli al vertice e uno dei due lati che lo comprendono sono congruenti.

$\bigl($ $\Longleftarrow$ $\bigr)$

Consideriamo sempre i due triangoli $ABC$ e $A'$$B'$$C'$. Secondo l'enunciato i due triangoli hanno un angolo al vertice congruente ed anche uno dei due lati che lo comprendono. Chiamiamo il lato del primo triangolo $l$ e quello del secondo $l'$. Dunque abbiamo che $l$ $\equiv$ $l'$ $\iff$ $l$ $=$ $l'$. Inoltre abbiamo anche che l'angolo al vertice che chiamiamo $\beta$ $\equiv$ $\beta$' $\iff$ $\beta$ $=$ $\beta$'. Se notiamo bene l'immagine possiamo osservare che l'angolo al vertice $\beta$ del primo triangolo è incidente ad $l$ e analogamente $\beta$' è incidente a $l'$ nel secondo triangolo. Ma i triangoli sono isosceli, quindi i lati incidenti all'angolo al vertice sono necessariamente uguali e quindi congruenti, sia nel primo che nel secondo triangolo. Chiamiamo ora $s$ e $s'$ altri due lati incidenti all'angolo al vertice del primo e del secondo triangolo. Quindi avremo :

$\bigl($ $\beta$ $=$ $\beta$' $\iff$ $\beta$ $\equiv$ $\beta$' $\bigr)$ $\iff$ $\bigl($ $l$ $=$ $l$' $\iff$ $l$ $\equiv$ $l$' $\bigr)$ $\land$ 

$\bigl($ $\beta$ $=$ $\beta$' $\iff$ $\beta$ $\equiv$ $\beta$' $\bigr)$ $\iff$ $\bigl($ $s$ $=$ $s$' $\iff$ $s$ $\equiv$ $s$' $\bigr)$.

Detto ciò possiamo concludere che i due triangoli hanno due lati e un angolo congruente. Ora la domanda è : anche la base risulta essere congruente ad entrambi i triangoli? Proviamo a ragionare per assurdo e supponiamo che esse abbiano lunghezze diverse e che quindi non sono congruenti. Supponiamo che la base del primo triangolo risulta essere più lunga rispetto alla seconda. Ma a questo punto anche i due lati che prima risultavano essere congruenti non sono più sovrapponibili perché allungando la base, di conseguenza allunghiamo anche i due lati adiacenti. Ma ciò è una contraddizione perché per ipotesi i due lati incidenti all'angolo al vertice sono congruenti. Quindi necessariamente le basi $b$ e $b$' risultano essere congruenti. 

In conclusione i due triangoli $ABC$  e $A'$$B'$$C'$ sono congruenti.

 

 

4

Ciao! 
Concentriamoci su un triangolo. Esso è isoscele, quindi avrà due lati uguali (in generale, se lo disegni, saranno quello "obliqui") mentre il lato alla base è diverso. "L'angolo al vertice" è l'angolo compreso tra i due lati congruenti.
Già che ci siamo, un ripassino sugli angoli di un triangolo isoscele: i due alla base sono congruenti, mentre quello compreso tra i due lati congruenti è diverso dagli altri due angoli. 

Dato che i due triangoli sono isosceli e hanno congruente un lato obliquo (infatti, il lato obliquo è "uno dei lati che lo comprende") avranno congruente anche l'altro per proprietà transitiva! Infatti, se chiamiamo i lati obliqui del primo triangolo $a$ e $c$, e i lati obliqui del secondo triangolo $a'$ e $c'$ abbiamo che $a = c $ e $a'=c'$ perché sono triangoli isosceli, dato che il testo ci dice che due lati obliqui sono congruenti $a = a'$. ma per proprietà transitiva $a = a' = c'$ e $c = a = a' = c'$ quindi i quattro lati obliqui sono uguali.

Possiamo usare il primo criterio di congruenza dei triangoli (Lato-Angolo-Lato): dato che hanno congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso, sono congruenti.

 +10

Iscriviti su SosMatematica.it e ricevi 10 gemme oggi stesso.

+10

Iscriviti su SosMatematica.it e ricevi 10 gemme oggi stesso.

Seguici su:

© 2019-2020 Tutti i diritti riservati