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Dimostrazione successione crescente

  

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Dimostra che la successione il cui termine generale a_n= (2n - 3)/(n + 1), n appartenente a N, è crescente.

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4 Risposte
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@martynam ciao, lo svolgimento dovrebbe essere questo! Saluti

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@gennaro88 ...nice job




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@martynam 

Basterà far vedere che risulta

a(n+1) - a(n) >= 0

 

(2n-1)/(n+2) - (2n-3)(n+1) = [(2n-1)(n+1) - (2n-3)(n +2)]/[(n+1)(n+2)] =

= [2n^2 + 2n - n - 1 - 2n^2 - 4n + 3n + 6 ]/[(n+1)(n+2)] =

= 5/[(n+1)(n+2)]

che, come rapporto di positivi, é maggiore di 0 per ogni n.

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@martynam ti propongo un metodo alternativo a quello proposto che ti hanno già proposto

Se conosci le derivate, puoi calcolare la derivata di 

$\frac{2n-3}{n+1}$

che vale:

$\frac{5}{(n+1)^2}$

ponendola maggiore di 0, notiamo che verificata $\forall n \in N$ il che dimostra che la successione è crescente.




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* a(n) = (2*n - 3)/(n + 1)
* a(n + 1) = (2*(n + 1) - 3)/(n + 1 + 1) = (2*n - 1)/(n + 2)
* Δ(n) = a(n + 1) - a(n) = 5/((n + 2)*(n + 1))
---------------
* {a(n)} crescente per ogni n naturale ≡ Δ(n) positivo per ogni n naturale
---------------
* Δ(n) = 5/((n + 2)*(n + 1)) < 0 ≡ - 2 < n < - 1
QED

Risposta



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