Heyo, sto facendo pratica sul principio di induzione e sono ancora alle prime armi.
Non riesco a risolvere questo esercizio:
Usando il principio di induzione matematica, provare che per ogni $n \in \mathbb{N}$ vale la formula:
$\displaystyle1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2$.
Ecco come ho proceduto:
1) Passo base
$n=0$
$0=0$ OK
2) Passo induttivo
Ipotesi: $\displaystyle1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2$.
Tesi: $\displaystyle1^3+2^3+3^3+...+\left(n+1\right)^3=\left(\frac{n+1\left(n+2\right)}{2}\right)^2$
Per l'ipotesi induttiva:
$\displaystyle\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2+\left(n+1\right)^3$
$\displaystyle\left(\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\right)+\left(n+1\right)^3$
$\displaystyle\frac{n^2\left(n+1\right)^2+4\left(n+1\right)^3}{4}$
Adesso come continuo per arrivare all'uguaglianza? 🤔
...sempre se è tutto corretto fino a qui 😆Â
Grazie in anticipo
