[Risolto] Centro di una circonferenza

@mirea00

Ciao di nuovo!

Vediamo se stavolta la pensi come me.

Le due circonferenze sono:

x^2 + y^2 - 6·x - 6·y + 17 = 0

x^2 + y^2 + 4·x = 0

Le combino fra loro:

x^2 + y^2 - 6·x - 6·y + 17 + k·(x^2 + y^2 + 4·x) = 0

aggiusto:

x^2·(k + 1) + x·(4·k - 6) + y^2·(k + 1) - 6·y + 17 = 0

divido per k+1 ≠ 0

Mi ritrovo con l'equazione implicita della circonferenza:

x^2 + 2·x·(2·k - 3)/(k + 1) + y^2 - 6·y/(k + 1) + 17/(k + 1) = 0

Il centro ha coordinate:

C(x,3/4*x) OK?

Quindi:

coefficiente della x!----->2·(2·k - 3)/(k + 1)

coefficiente della y!----> - 6/(k + 1)

Deduco da essi i valori delle coordinate del centro:

2·(2·k - 3)/(k + 1)/2·(-1) = (3 - 2·k)/(k + 1)

(- 6/(k + 1))/2·(-1) = 3/(k + 1)

Considero il sistema:

{(3 - 2·k)/(k + 1) = x

{3/(k + 1) = 3/4·x

lo risolvo ed ottengo: [x = 8 ∧ k = - 1/2]

Quindi l'equazione maledetta!

x^2 + 2·x·(2·(- 1/2) - 3)/(- 1/2 + 1) + y^2 - 6·y/(- 1/2 + 1) + 17/(- 1/2 + 1) = 0

che aggiustata fornisce:

x^2 + y^2 - 16·x - 12·y + 34 = 0

Buona notte cara!

I tuoi appunti non li comprendo (vedi "l'equazione con la k sostituita nell'equazione"?), ma i tuoi quesiti mi appassionano: PRIMA O POI DEVO RIUSCIRE A CONVINCERTI a seguire la via della semplicità (prima le proprietà geometriche e poi l'equazione, non viceversa come tu tendi a fare.).
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L'equazione del fascio indicato è la combinazione lineare delle generatrici
* Γ(u, v) ≡ u*(x^2 + y^2 - 6*x - 6*y + 17) + v*(x^2 + y^2 + 4*x) = 0 ≡
≡ (u + v)*x^2 + 2*(2*v - 3*u)*x + (u + v)*y^2 - 6*u*y + 17*u = 0 ≡
≡ (u + v)*(x^2 + 2*((2*v - 3*u)/(u + v))*x) + (u + v)*(y^2 - (6*u/(u + v))*y) + 17*u = 0 ≡
≡ (u + v)*((x + (2*v - 3*u)/(u + v))^2 - ((2*v - 3*u)/(u + v))^2) + (u + v)*((y - 3*u/(u + v))^2 - (3*u/(u + v))^2) + 17*u = 0 ≡
≡ (x + (2*v - 3*u)/(u + v))^2 - ((2*v - 3*u)/(u + v))^2 + (y - 3*u/(u + v))^2 - (3*u/(u + v))^2 + 17*u/(u + v) = 0 ≡
≡ (x + (2*v - 3*u)/(u + v))^2 + (y - 3*u/(u + v))^2 = (u^2 - 29*u*v + 4*v^2)/(u + v)^2
e questa è la solita equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
coi suoi tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
SI HA
* a = - (2*v - 3*u)/(u + v)
* b = 3*u/(u + v)
* q = (u^2 - 29*u*v + 4*v^2)/(u + v)^2
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RISPOSTA AL QUESITO
"con il centro sulla retta di equazione 3x=4y" vuol dire con
* 3*a = 4*b ≡
≡ 3*(- (2*v - 3*u)/(u + v)) = 4*3*u/(u + v) ≡
≡ u = - 2*v
quindi
* Γ(- 2*v, v) ≡ - 2*v*(x^2 + y^2 - 6*x - 6*y + 17) + v*(x^2 + y^2 + 4*x) = 0 ≡
≡ (x - 8)^2 + (y - 6)^2 = 66