Dimostrazione limite

Lo riconduco progressivamente a limiti notevoli. 

Dimostriamo che lim_x->0  (1 - cos x)/x = lim_x->0  (1 - cos x)/x^2 * x = 

= lim_x->0  (1 - cos x)/x^2 * lim_x->0  x = 1/2 * 0 = 0. 

Perché lim_x->0  (1 - cos x)/x^2 = 1/2 ? 

Per le formule di bisezione   sin (x/2) = +- sqrt [( 1 - cos x)/2 ]

per cui  sin^2 (x/2) = (1 - cos x)/2 

1 - cos x = 2 sin^2(x/2)

sostituendo 

lim_x->0   (1 - cos x)/x^2 = lim_x->0  2 sin^2(x/2) / (4*x^2/4) = 

= lim_x->0  2/4 * sin^2(x/2) / (x/2)^2 = 

= 1/2 lim_u->0  (sin u/ u)^2     con u = x/2   (u ->0 quando x->0 ) 

e quindi 1/2 * 1^2 = 1/2

Proof: lim[x->0](sin(x)/x)=1 » Victoriee Academy

http://www.ripmat.it/mate/c/cd/cdfa.html