[Risolto] Dimostrazione disuguaglianze tra gli elementi di triangoli

RIPASSO
Una terna ordinata di numeri {a, b, c} rappresenta le misure dei lati di un triangolo se e solo se
* 0 < a <= b <= c < a + b
il triangolo ha i vertici {A, B, C} opposti ai lati omonimi con angoli interni {α, β, γ}.
Quadrando membro a membro l'ultima relazione si ha
* c^2 < a^2 + b^2 + 2*a*b
e, secondo i rapporti fra le tre lunghezze, si danno tre possibilità
1) c^2 < a^2 + b^2: il triangolo ABC è acutangolo
2) c^2 = a^2 + b^2: il triangolo ABC è rettangolo
3) c^2 > a^2 + b^2: il triangolo ABC è ottusangolo
Queste cose dovresti averle apprese negli ultimi due anni delle elementari.
Il caso due si chiama Teorema di Pitagora e anche questo dovresti già averlo appreso.
Invece non hai ancora appreso l'esistenza di un Teorema di Carnot che, per i casi uno e tre, quantifica la differenza in funzione dell'angolo γ.
Ai fini di quest'esercizio basta sapere che la differenza esiste e in che verso è.
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ESERCIZIO
I due triangoli ABM e ACM hanno il lato AM comune e i lati BM e CM congruenti per costruzione (così ne unifico i nomi in UM): chiamo "s (come somma)" la somma dei quadrati delle loro lunghezze
* s = |AM|^2 + |UM|^2
Nel caso si abbia anche
* s = |AC|^2
si tratterebbe di un caso due: angolo in M retto, AM altezza oltre che mediana, ABC isoscele.
Se invece le misure di AB e AC sono diverse anche i loro quadrati verificano la stessa diseguaglianza
* |AB| > |AC| → |AB|^2 > |AC|^2
cioè
* |AC|^2 < s < |AB|^2
cioè ancora
* (ACM è acutangolo) & (ABM è ottusangolo)
QED