Derivate

Questa è la prima parte, ora ti faccio lil grafico

La f(x) è derivabile nell'ascissa x = k se e solo se per x → k esistono finiti ed eguali i limiti destro e sinistro, per x → k, del rapporto incrementale Δf/Δx.
La derivabilità in x = k vi implica la continuità: D(k) → C(k). Ma non vale il viceversa.
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La distinzione di casi
* f(x) = y ≡ (x < 0) & (y = e^x - 1) oppure (y = a*x^2 + b*x + c)
definisce una funzione derivabile infinite volte in R\{0}.
Per poter essere derivabile due volte in R occorre che sia continua e derivabile in x = 0.
Dal momento che la derivabilità in x = k vi implica la continuità, è sufficiente imporre due volte la prima.
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* f'(x) = m(x) = dy/dx ≡ (x < 0) & (y' = e^x) oppure (y' = 2*a*x + b)
* f''(x) = dm/dx ≡ (x < 0) & (y'' = e^x) oppure (y'' = 2*a)
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La f(x) è derivabile nell'ascissa x = 0 se e solo se
* e^x = 2*a*x + b
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La m(x) è derivabile nell'ascissa x = 0 se e solo se
* e^x = 2*a
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La f(x) è derivabile due volte nell'ascissa x = 0 se e solo se sono vere
* (e^0 = 2*a*0 + b) & (e^0 = 2*a) ≡ (a = 1/2) & (b = 1)
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VERIFICHE
* f(x) = y ≡ (x < 0) & (y = e^x - 1) oppure (y = x^2/2 + x + c)
* y = e^0 - 1 = 0^2/2 + 0 + c ≡ c = 0
perché c != 0 contraddirebbe l'implicazione (dimostrata!) D(k) → C(k).
Quindi
* f(x) = y ≡ (x < 0) & (y = e^x - 1) oppure (y = x^2/2 + x)
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Vedi il grafico e il paragrafo "Partial derivatives" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3Dpiecewise%5B%7B%7Be%5Ex-1%2Cx%3C0%7D%2C%7Bx%5E2%2F2%2Bx%2Cx%3E%3D0%7D%7D%5D

Se ho dimenticato qualcosa dimmelo che lo faccio!