[Risolto] Curva tangente alla retta N82

y = (a·x^2 + b)/(x + 3)

Iperbole non equilatera con a ≠ 0 unico asintoto verticale x=-3 ed un asintoto obliquo.

Quindi deve essere tangente alla retta per x=2

Quindi in un unico punto di date coordinate devono passare la retta e l'iperbole.

Tramite la retta determiniamo il punto:

7·2 - 5·y - 9 = 0----> 5 - 5·y = 0----> y = 1

quindi: [2, 1]

Per quanto detto sopra:

1 = (a·2^2 + b)/(2 + 3)  (passaggio per il punto trovato)

1 = (4·a + b)/5---> 4·a + b = 5---> b = 5 - 4·a

y = (a·x^2 + (5 - 4·a))/(x + 3)

y = (a·x^2 - 4·a + 5)/(x + 3)

riscrivo l'iperbole:

a·x^2 - 4·a + 5 - y·(x + 3) = 0

a·x^2 - x·y - 3·y - 4·a + 5 = 0 (forma implicita)

Applico le formule di sdoppiamento in [2, 1]:

2·a·x - (2·y + x)/2 - 3·(y + 1)/2 - 4·a + 5 = 0

(x·(4·a - 1) - 5·y - 8·a + 7)/2 = 0

Ottengo quindi:

x·(4·a - 1) - 5·y - 8·a + 7 = 0

che confronto con:

7·x - 5·y - 9 = 0

Deve essere:

{4·a - 1 = 7

{7 - 8·a = -9

si ottiene in ogni caso: a = 2

b = 5 - 4·2----> b = -3

Funzione:

y = (2·x^2 - 3)/(x + 3)

Studio derivata:

y'= (2·x^2 + 12·x + 3)/(x + 3)^2

(2·x^2 + 12·x + 3)/(x + 3)^2 > 0

se risulta: x < - √30/2 - 3 ∨ x > √30/2 - 3

(2·x^2 + 12·x + 3)/(x + 3)^2 < 0

se risulta: - √30/2 - 3 < x < √30/2 - 3

(2·x^2 + 12·x + 3)/(x + 3)^2 = 0

Quindi due punti di stazionarietà:

x = - √30/2 - 3 ∨ x = √30/2 - 3

Il primo è un massimo relativo

il secondo un minimo relativo

Ormai non te ne importerà più, ma io sono immobilizzato e qualcosa devo pur fare per passare il tempo, ti mostro la mia procedura risolutiva.
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La retta
* 7*x - 5*y - 9 = 0 ≡ y = (7*x - 9)/5
ha
* pendenza m = 7/5
* ordinata y(2) = 1
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A) Determina i valori dei parametri ...
Con a e b ∈ R, nel punto di tangenza T(2, 1) la funzione
* f(x) = y = (a*x^2 + b)/(x + 3)
deve
* passare per T
* con pendenza m = 7/5
cioè
passare per T ≡ 1 = (a*2^2 + b)/(2 + 3) ≡ a = (5 - b)/4
da cui
* f(x) = y = (4*b - (b - 5)*x^2)/(4*(x + 3))
* f'(x) = dy/dx = ((5 - b)*x^2 + 6(5 - b)*x - 4*b)/(4*(x + 3)^2)
con pendenza m = 7/5 ≡
≡ f'(2) = ((5 - b)*2^2 + 6(5 - b)*2 - 4*b)/(4*(2 + 3)^2) = 7/5 ≡
≡ b = - 3 → a = 2
da cui
* f(x) = y = (2*x^2 - 3)/(x + 3)
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28y%3D%287*x-9%29%2F5%29%26%28y%3D%282*x%5E2-3%29%2F%28x%2B3%29%29
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B) Verifica che ...
Mi pare ovvio che un'iperbole con assi di simmetria ruotati rispetto a quelli coordinati presenti un solo estremo relativo per ciascun ramo.
La localizzazione si ha dalle condizioni classificatorie
* minimo relativo ≡ (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0)
* massimo relativo ≡ (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0)
per calcolare le quali occorrono
* f'(x) = 2 - 15/(x + 3)^2
* f''(x) = 30/(x + 3)^3
da cui
* minimo relativo ≡ (2 - 15/(x + 3)^2 = 0) & (30/(x + 3)^3 > 0) ≡ x = - 3 + √(15/2)
* massimo relativo ≡ (2 - 15/(x + 3)^2 = 0) & (30/(x + 3)^3 < 0) ≡ x = - 3 - √(15/2)