[Risolto] Correzione esercizio relazioni

Se indichi SI cioè è vera occorre verificare che lo sia ∀a∈ℤ e ∀b∈ℤ.

Se invece indichi NO cioè falsa allora è sufficiente mostrare il contro-esempio.

 

-) Riflessiva. NO! infatti se a=-1 allora essendo -1<1 non è vero che a≥a² 

(Falsa è sufficiente un controesempio)

 

-) Simmetrica. NO! infatti prendiamo a = 4 e b = 1 essendo aℛb (4≥1) ma b¬ℛa 1<16. 

(Falsa è sufficiente un controesempio)

 

-) Transitiva. SI! In questo caso non è sufficiente un controesempio. 

dalla aℛb segue che a≥b² per cui a≥0

dalla bℛc segue che b≥c² per cui b≥0

questo ci permette di considerare i soli a,b naturali (a,b∈ℕ).

si deve dimostrare che aℛc cioè a≥c².

Infatti valgono le seguenti disequazioni (In ℕ i quadrati sono maggiori o eguali ai numeri)

0≤c²≤b≤b²≤a per cui a≥c².

 

-) Antisimmetrica. SI! Anche per questo caso non è sufficiente un controesempio.

dalla aℛb segue che a≥b² per cui a≥0

dalla bℛa segue che b≥a² per cui b≥0

questo ci permette di considerare i soli a,b naturali (a,b∈ℕ).

dalla aℛb ∧ bℛa segue che a≥b²≥a⁴  

In ℕ solo i numeri 0 e 1 sono maggiori o eguali a loro stessi elevati alla quarta potenza per cui

• Se a=0 e b=0 allora si ha:
  • 0≥0²≥0⁴ quindi in questo caso a=b.

• Se a=1 e b=1 allora si ha:
  • 1≥1²≥1⁴ quindi in questo caso a=b.

Conclusione. Per i soli i casi possibili a=b quindi la relazione è antisimmetrica.