I due punti $A(-1,-2)$ e $C(5,2)$ sono due vertici opposti di un rombo $A B C D$ in cui la diagonale $B D$ misura $3 \sqrt{13}$. Determina i vertici $B$ e $D$ del rombo (con $B$ nel quarto quadrante), il suo perimetro e la sua area.
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\left[B\left(5,-\frac{9}{2}\right) ; D\left(-1, \frac{9}{2}\right) ; \text { perimetro }=26 ; \text { Area }=39\right]
$$
Salve ragazzi potete spiegarmi il procedimento per trovare le coordinate cartesiane della diagonale minore in questione ? Grazie mille
12
punti
Livello 0
si tracciano i punti A e C sul piano cartesiano e lo si congiunge con un segmento : avendo i due estremi ordinata uguale e contraria ne consegue che il punto mediano O del segmento ha ordinata zero(si colloca sull'asse delle x con ascissa xo pari a (xb+xa)/2 = (5-1)/2 = 2.
il coefficiente angolare di AC vale m = (ya-yb)/(xa-xb) = (-2-2)/(-1-5) = 2/3
il coefficiente angolare di BD vale m' = -1/m = -3/2
OD = BD/2 = 3/2√13
OD^2 = 9/4*13 = y'^2+(2y'/3)^2= (13y'^2)/9
y'^2 = 81/4 ; y' = 9/2
l'ordinata y' di D vale 0+9/2 = 9/2, l'ascissa x' = xo-y'*2/3 = 2-(9/2)*2/3 = 2-3 = -1
coordinate di D = (x' ; y') = (-1;9/2)
l'ordinata y'' di B vale -y' , vale a dire -9/2
l'ascissa x'' di B vale xo+y'*2/3 = 2+3 = 5
coordinate di D = (x'' ; y'') = (5;-9/2)
AD = BC = y'-y = 9/2-(-2) = 6,5 cm
per verifica :
AB = CD = √(9/2)^2+(9/2-2)^2 = 6,5 cm ..come doveva essere, trattandosi di un rombo (4 lati uguali)
altezza h = xc-xa = 5-(-1) = 6 cm
perimetro 2p = 6,5*4 = 26 cm
area A = AD*h = 6,5*6 = 13*3 = 39 cm^2
97313
punti
Genius II
@remanzini_rinaldo la ringrazio! Per perimetro e area non avevo dubbi! Avevo trovato punto medio ma non sapevo come continuare.. grazie
@Maty-1 ...ti è chiaro come ho ragionato ? a partire dall'ipotenusa ho trovato i cateti sapendo che sono tra loro nella proporzione del coefficiente angolare m'
@remanzini_rinaldo si chiaro adesso
Salve anche a te, nuovo membro Maty-1 (Matteo?)!
Sono assai contento, con i miei circa 83 anni, di sentirmi ogni tanto accomunato in un "Salve ragazzi".
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PROCEDIMENTO
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A) Rammentare che le diagonali di ogni parallelogramma s'intersecano nel punto medio di ciascuna e che nei rombi esse sono ortogonali. Dai due fatti discende che le diagonali dei rombi giacciono l'una sull'asse dell'altra.
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B) L'asse del segmento PQ di estremi due dati punti P(a, p) e Q(b, q) è
* Per p = q: asse(PQ) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(PQ) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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B1) L'asse del segmento AC di estremi A(- 1, - 2) e C(5, 2), essendo - 2 != 2, è
* asse(AC) ≡ y = (2*(5 - (- 1))*x + (- 1)^2 - 5^2 + (- 2)^2 - 2^2)/(2*(- 2 - 2)) ≡
≡ y = 3 - (3/2)*x
e lo interseca nel centro del rombo, punto medio di AC, M(2, 0).
Per quanto rammentato sub A, M(2, 0) è punto medio anche di BD; quindi i vertici B e D sono su asse(AC) e sono equidistanti da M della comune distanza |BD|/2 = (3/2)*√13.
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C) Il luogo dei punti equidistanti da un dato punto M(a, b), alla comune distanza r > 0, è la circonferenza Γ di equazione
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
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C1) Con i valori sub B1 si ha
* Γ ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 117/4 = ((3/2)*√13)^2
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D) I vertici incogniti (su asse(AC) ed equidistanti da M) sono le intersezioni
* (y = 3 - (3/2)*x) & ((x - 2)^2 + y^2 = 117/4) ≡
≡ D(- 1, 9/2) oppure B(5, - 9/2)
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E) L'area S in funzione dei vertici si calcola con l'algoritmo di Gauss
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_dell%27area_di_Gauss
che dà
* S(ABCD) = 39
e il perimetro p come quadruplo della distanza fra due vertici adiacenti (AD sulla x = - 1 o BC sulla x = 5)
* p = 4*|BC| = 4*|- 9/2 - 2| = 26
51886
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Genius I
