[Risolto] Circonferenza

k·x^2 + k·y^2 - (2·k + 1)·x + (2·k + 1)·y + k + 1 = 0

riscrivo:

k·(x^2  + y^2 - 2·x + 2·y + 1) - x + y + 1 = 0

Metto a sistema le generatrici del fascio:

{x^2  + y^2 - 2·x + 2·y + 1 = 0

{- x + y + 1 = 0

Risolvo ed ottengo i due punti base del fascio:

per sostituzione

y = x - 1----> x^2 - 2·x + (x - 1)^2 + 2·(x - 1) + 1 = 0

quindi: 2·x^2 - 2·x = 0---> 2·x·(x - 1) = 0---> x = 1 ∨ x = 0

x = 1: y = 1 - 1---> y = 0----> (1,0)

x = 0: y = 0 - 1---> y = -1---> (0,-1)

L' asse radicale è la retta y = x - 1 mentre l'asse centrale passa per il centro della circonferenza generatrice e per il punto medio dei due punti base ed è perpendicolare all'asse radicale. Si riconosce l'equazione y=-x per l'asse centrale

1. valore di k tale per cui il centro della circonferenza del fascio stia sulla retta di equazione y=-2x+3 

Si deve mettere a sistema:

{y = -x

{y = - 2·x + 3

risolviamo: [x = 3 ∧ y = -3]

per cui:

k·x^2 + k·y^2 - (2·k + 1)·x + (2·k + 1)·y + k + 1 = 0

divido per k ≠ 0 ed ottengo:

x^2 + y^2 - x·(2·k + 1)/k + y·(2·k + 1)/k + (k + 1)/k = 0

Quindi devono essere verificate le due circostanze:

{(2·k + 1)/(2·k) = 3 (ascissa del centro)

{- (2·k + 1)/(2·k) = -3 (ordinata del centro)

sono verificate entrambe per k = 1/4

2. valore di k tale per cui la circonferenza del fascio sia tangente alla retta y=x.

{k·x^2 + k·y^2 - (2·k + 1)·x + (2·k + 1)·y + k + 1 = 0

{y - x = 0

per sostituzione: y = x

k·x^2 + k·x^2 - (2·k + 1)·x + (2·k + 1)·x + k + 1 = 0

2·k·x^2 + k + 1 = 0

Δ = 0 condizione di tangenza (-4ac=0 manca il termine in x)

- 8·k·(k + 1) = 0----> k = -1 ∨ k = 0

Per k=-1  si ottiene la circonferenza per l'origine e per i due punti base, mentre per k=0 si ottiene la retta generatrice il fascio.