Circonferenza

@mirko_falsone

Ciao.

Metto a sistema:

{y = -x + 8

{x = 6

per sostituzione:  y = -6 + 8--->y = 2

Determino T(6,2)

L'equazione cartesiana della circonferenza si scrive: (x - α)^2 + (y - β)^2 = r^2

Quindi si semplifica perché l'ascissa del centro si conosce:α = 2

(x - 2)^2 + (y - β)^2 = r^2

Poi si scrive la retta perpendicolare alla tangente per T: y = +x + q (+1 per le condizioni di perpendicolarità), quindi per (6,2):2 = +6 + q-----> q = -4

Quindi: y = x - 4

Si mette a sistema tale retta con x=2 e si determina C(2,-2) centro della circonferenza.

Si mette a sistema:

{(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = r^2

{y = -x + 8

che si risolve per sostituzione:

(x - 2)^2 + ((-x + 8) + 2)^2 = r^2

(x^2 - 4·x + 4) + (x^2 - 20·x + 100) = r^2

2·x^2 - 24·x + 104 - r^2 = 0

Si pone la condizione di tangenza:

Δ = 0 che si scrive:

24^2 + 8·(r^2 - 104) = 0

8·r^2 - 256 = 0

si risolve: r = - 4·√2 ∨ r = 4·√2 quindi abbiamo un'unica circonferenza che soddisfa i requisiti posti:

(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = (- 4·√2)^2----->(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 32

in forma cartesiana, in forma implicita:x^2 + y^2 - 4·x + 4·y - 24 = 0

Ciao

Tra tutte le circonferenze (fascio di circonferenze) che sono tangenti alla retta r nel punto T scegliamo quelle che hanno il centro sulla retta s: x=2.

a) Fascio di circonferenze

• coordinate del punto T(6,yT)

y = -x+8 ⇒ xT = 6 allora yT = -6+8 = 2

coordinate di T(6,2)

• fascio di circonferenze

Scegliamo come generatrici del fascio due circonferenze degeneri. La scelta ha come obbiettivo quella di avere un'equazione semplice. Le due circonferenze (degeneri) sono:

-) La circonferenza di centro T e raggio r=0 cioè (x-6)²+(y-2)² = 0 ovvero x²+y²-12x-4y+40 = 0

è degenere poiché si riduce a un punto.

-) La retta tangente r: cioè y = -x+8 ovvero x+y-8=0 (l'asse radicale).

è degenere poiché rappresenta una circonferenza di raggio "oo"".

L'equazione del fascio è (x-6)²+(y-2)²+k(x+y-8) = 0 cioè x²+y²+(k-12)x+(k-4)y+40-8k = 0

b) scegliamo quelle che hanno il centro nella retta s: x=2 cioè quelle la cui ascissa del centro xC vale 2

xC = 2

-a/2 = 2

-(k-12)/2 = 2

k=8

L'unica circonferenza si ottiene ponendo k=8 

x²+y²+(k-12)x+(k-4)y+40-8k = 0 per k=8

x²+y²-4x+4y-24 = 0

https://www.desmos.com/calculator/vzsasbtld1

Altro modo 

(più semplice del precedente)

Trovati T(6,2) e C(2,-2) abbiamo r=TC

r=√((2 - 6)^2 + (-2 - 2)^2) = 4·√2

Equazione cartesiana:

(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = (4·√2)^2

(x^2 - 4·x + 4) + (y^2 + 4·y + 4) = 32

Equazione implicita:

x^2 + y^2 - 4·x + 4·y - 24 = 0 

RIFLETTERE SULLE INFORMAZIONI FORNITE E SULLE LORO IMPLICAZIONI.
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A) "tangente alla retta r ... nel punto T" vuol dire che il centro C(a, b) è sulla retta s per T perpendicolare ad r, perché il raggio del punto di tangenza è ortogonale alla tangente.
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B) "avente il centro sulla retta ... x = 2" vuol dire che il centro C(2, b) dev'essere su due rette distinte e che quindi è il loro punto d'incidenza.
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C) il raggio R è, ovviamente, la distanza |CT|.
Quindi la circonferenza Γ richiesta ha la forma
* Γ ≡ (x - 2)^2 + (y - b)^2 = q = R^2
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ESEGUIRE I CALCOLI INDIVIDUATI.
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La tangente
* r ≡ y = 8 - x
ha pendenza m = - 1, quindi le sue perpendicolari con pendenza antinversa hanno la forma
* s(q) ≡ y = x + q
Fra queste si trova quella che passa per T(6, 8 - 6 = 2) sostituendo in s(q) le coordinate di T
* 2 = 6 + q
da cui
* q = - 4
* s(- 4) ≡ y = x - 4
quindi si deve avere C(k, k - 4), ma anche C(2, b): cioè C(2, - 2).
La distanza da C(2, - 2) ad r è
* R = |Cr| = 4*√2
da cui
* Γ ≡ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 32