Ciao!
"In un rettangolo se si aumenta la base la base di 2m e si riduce di 1m l'altezza, l'area aumenta di 4m^2. Se invece si riduce di 1m e si aumenta di 2m l'altezza, l'area aumenta di 22m^2.
Quali sono le dimensioni del rettangolo?"
Si può risolvere mettendo a sistema le equazioni:
(x+2)(y-1)=z+4
(x-1)(y+2)=z+22
Trovando che le dimensioni sono 8,2.
Siccome mi pare eccessivamente complicato, è possibile risolvere il problema scrivendo solo una equazione di secondo grado a un'incognita?
105
punti
Livello 1
Ciao. Le dimensioni iniziali del rettangolo sono:
x= base; y= altezza
Quindi l'area è x*y
Facciamo il sistema:
{(x+2)(y-1)=xy+4
{(x-1)(y+2)=xy+22
Quindi:
{x·y - x + 2·y - 2 = x·y + 4
{x·y + 2·x - y - 2 = x·y + 22
Dalla prima equazione:
y = (x + 6)/2
che sostituita nella seconda:
x·((x + 6)/2) + 2·x - (x + 6)/2 - 2 = x·((x + 6)/2) + 22
x^2/2 + 9·x/2 - 5 = x^2/2 + 3·x + 22
risolvo:
x = 18 m
y = (18 + 6)/2---->y = 12 m
Ciao
115471
punti
Genius III
12972
punti
Livello 7
FORMALMENTE SI PUO', MA I CALCOLI RESTANO GLI STESSI: vuol dire risolvere il sistema via via che si imposta il modello anziché tutt'insieme a modello finito.
La prima condizione che si formalizza consente di esprimere una dimensione in funzione dell'altra e tale espressione si sostituisce nella seconda condizione ottenendo "solo una equazione di secondo grado a un'incognita".
------------------------------
Unità di misura: lunghezza, m; superficie, m^2.
Con le dimensioni
* 0 < a <= b
si ha
* A = a*b
PRIMA CONDIZIONE
da
* A + 4 = a*b + 4 = (a - 1)*(b + 2)
si ha
* (a*b + 4 = (a - 1)*(b + 2)) & (0 < a <= b) ≡
≡ (b = 2*(a - 3)) & (a >= 6)
SECONDA CONDIZIONE
da
* A + 22 = a*b + 22 = (a + 2)*(b - 1) ≡
≡ a*(2*(a - 3)) + 22 = (a + 2)*(2*(a - 3) - 1) ≡
≡ 2*(a^2 - 3*a + 11) = 2*a^2 - 3*a - 14
si ha
* (2*(a^2 - 3*a + 11) = 2*a^2 - 3*a - 14) & (a >= 6) ≡
≡ a = 12
da cui
* b = 2*(a - 3) = 2*(12 - 3) = 18
------------------------------
VERIFICA
Con le dimensioni
* altezza a = 12
* base b = 18
si ha
* A = a*b = 12*18 = 216
PRIMA CONDIZIONE
* (a - 1)*(b + 2) = (12 - 1)*(18 + 2) = 220 = 216 + 4 ≡ Vero
SECONDA CONDIZIONE
* (a + 2)*(b - 1) = (12 + 2)*(18 - 1) = 238 = 216 + 22 ≡ Vero
57798
punti
Genius I
