[Risolto] Equazione differenziale lineare del primo ordine

E' la logistica ordinaria

dy/dt = k y ( 1 - y/h )

Separando le variabili

dy/[ y*(1 - y/h) ] = k dt

S [ A/y + B/(1 - y/h) ] dy =  k S dt

A(1 - y/h) + By = 1

A = 1

- A/h + B = 0=>   B = 1/h

S (1/y - 1/h * 1/(y/h - 1)) dy = kt + C

ln |y| - ln |y/h - 1| = kt + C

ln | y/(y/h - 1) | = kt + C

y/(1 - y/h) = C e^(kt)

y = C e^(kt) - Cy/h e^(kt)

y( 1 + C/h e^(kt ) = C e^(kt)

 

y = C e^(kt) / [ 1 + C/h  e^(k t) ]

y = 1/(1 + C/h e^(-kt))

 

Applicando la condizione iniziale y(0) = yo trovi C

 

yo = 1/(1 + C/h)

1 + C/h = 1/yo

C = h(1/yo - 1)

 

 

SE PER TE GIUSTAPPORRE FA MOLTIPLICARE ALLORA E' QUADRATICA, NON LINEARE.
* "y'=ky (1-((y)/(h)))" ≡
≡ dy/dx = k*(y - y^2/h)
scritta come
* y' - k*y = - (k/h)*y^2
si riconosce come equazione differenziale di Bernoulli, con esponente n = 2.
Dopo aver applicato la procedura illustrata al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_differenziale_di_Bernoulli#Metodo_di_risoluzione
dovresti trovare
* y(x) = h*e^(h*C + k*x)/(e^(h*C + k*x) - 1)
se no, devi riguardare i passaggi intermedii.