Cinematica

La posizione di una particella che si muove lungo l’asse x è data in cm dalla relazione x=9,75+1,50t^3 dove t è in secondi. Considerando l’intervallo tra t = 2.00 s e t = 3.00 s, calcolare velocità media e velocità istantanea per t = 2.00 s e per t = 3.00 s, la velocità istantanea per t = 2.50 s e quando la particella si trova a metà strada tra le sue posizioni per t = 2.00 s e per t = 3.00 s.

t = 2,00 sec 

X2 = 9,75+1,50*2^3 = 21,75 cm

Vi2 = dx/dt = 1,50*3*t^2 = 4,50*2^2 = 18,00 cm/sec 

 

t = 3,00 sec 

X3 = 9,75+1,50*3^3 = 50,25 cm

Vi3 = dx/dt = 1,50*3*t^2 = 4,50*3^2 = 40,50 cm/sec 

 

Vm(2;3) = (X3-X2)/(3-2) = (50,25-21,75)/1 = 28,50 cm/sec 

 

t = 2,50 sec 

Vi2,5 = dx/dt = 1,50*3*t^2 = 4,50*2,5^2 = 28,1250 cm/sec 

 

a metà strada

Sm = (X2+X3)/2 = (21,75+50,25)/2 = 36,00 cm = 9,75+1,5*tx^3

tx = ³√(36-9,75)/1,5 = 2,59625 sec

Vix = 1,5*3*2,59625^2 = 30,332 cm/sec 

 

 

@giusss

Ciao.

x = 9.75 + 1.5·t^3 posizione della particella (in cm)

Tratto percorso dalla particella in 2 secondi:

x = 9.75 + 1.5·2^3------> x = 21.75 cm

Tratto percorso dalla particella in 3 secondi:

x = 9.75 + 1.5·3^3-------> x = 50.25 cm

Velocità media nell'intervallo di tempo considerato:

Vm= Δx/Δt = (50.25 - 21.75)/(3 - 2) = 28.5 cm/s

Le velocità istantanee sono legate alla derivata: v=dx/dt= 9·t^2/2

La velocità istantanea per t=2 s vale:

v(2)=9·2^2/2= 18 cm/s

La velocità istantanea per t=3 s vale:

v(3)=9·3^2/2 =40.5 cm/s

La velocità istantanea per t=2.5 s vale:

v(2.5)= 9·2.5^2/2 = 28.125 cm/s

La velocità istantanea quando la particella si trova a metà strada:

Xm=(21.75 + 50.25)/2 = 36 cm

36 = 9.75 + 1.5·t^3-----> t = 140^(1/3)/2 = 2.596247050

v(2.596)=9·2.596^2/2 = 30.326 cm/s

 

 

 

* 9.75 = 39/4 m
* 1.50 = 3/2 m/s^3
* posizione: x(t) = (3/4)*(2*t^3 + 13)
* velocità: v(t) = dx/dt = (9/2)*t^2
* accelerazione: a(t) = dv/dt = 9*t
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Negl'istanti t in {2, 5/2, 3} si ha, nel formato {x(t), v(t), a(t)},
* 2.00: {87/4, 18, 18}
* 2.50: {531/16, 225/8, 45/2}
* 3.00: {201/4, 81/2, 27}
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La velocità media nell'intervallo [2, 3] s è
* (x(3) - x(2))/(3 - 2) = (201/4 - 87/4)/1 = 57/2 = 28.5 m/s
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Le velocità istantanee per t in {2, 5/2, 3} s sono
* {18, 225/8 = 28.125, 81/2 = 40.5} m/s
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Il punto materiale è nella posizione centrale
* (x(3) - x(2))/2 = (201/4 - 87/4)/2 = 57/4 = 14.25 m
nell'istante 2 < T < 3 in cui
* (x(t) = (3/4)*(2*T^3 + 13) = 57/4) ≡ T = 3^(1/3)
perciò
* v(T) = (9/2)*(3^(1/3))^2 = (9/2)*3^(2/3) ~= 9.36 m/s