Determinare le equazioni parametriche e l'equazione cartesiana del cilindro avente le generatrici perpendicolari al piano y=x e come direttrice la curva c : { z + x = 0; 9y^2 - x^2 - 2xz = 1.
Determinare le equazioni parametriche e l'equazione cartesiana del cilindro avente le generatrici perpendicolari al piano y=x e come direttrice la curva c : { z + x = 0; 9y^2 - x^2 - 2xz = 1.
La direzione delle generatrici é ortogonale al piano di equazione x - y = 0
quindi é individuata dal vettore (1, -1, 0)
Pertanto ponendo
x = t + x1
y = -t + y1
z = z1
e quindi
x1 = x - t
y1 = y + t
z1 = z
dovendo essere x1 + z1 = 0 risulta x - t + z = 0 => t = x + z
x1 = x - t = x - x - z = - z
y1 = y + t = y + x + z = x + y + z
z1 = z
l'equazione cartesiana é quindi x1^2 - 9y1^2 + 2x1z1 + 1 = 0
(-z)^2 - 9(x+y+z)^2 + 2(-z) z + 1 = 0
z^2 - 9(x+y+z)^2 - 2z^2 + 1 = 0
9(x+y+z)^2 + z^2 - 1 = 0
Dovresti poter ottenere una rappresentazione parametrica
riscrivendo
z + x = 0
9y^2 - x^2 - 2xz = 1
con x = u, z = -u
9y^2 = u^2 + 2*u*(-u) + 1 = 1 - u^2
e quindi
x = u + v
y = 1/3 sqrt(1 - u^2) - v
z = -u
Spero che sia corretto.
@eidosm un'informazione, il fatto che x1+z1=0 da dove viene considerato? Dalla curva?