MODELLI Motocross. La linea del profilo di una pista di motocross comprende un primo tratto iperbolico dal punto D al punto B, un tratto parabolico dal punto B al punto A un un ulteriore tratto iperbolico dal punto A al punto E.
a. Determina l'equazione $y=\frac{a x+b}{c x+d}$ del primo tratto della salita, sapendo che passa per il punto $C\left(-\frac{1}{2} ; 2\right)$ e che la retta tangente nel punto di intersezione con l'asse delle ordinate ha equazione $y=4 x+3 .$
b. Scrivi l'equazione della parabola che descrive il profilo del secondo tratto della salita, sapendo che essa ha l'asse parallelo all'asse $y$, è tangente in $B$ all'iperbole appena trovata e passa per il punto $A(6 ; 9)$.
c. Completa la descrizione del tratto di pista, individuando l'equazione $y=\frac{81}{m x+n}$ dell'ultima iperbole, tangente in $A$ alla parabola precedente.
d. Trova l'altezza massima da terra (asse $x$ ) del tratto di circuito in esame, nonché le quote dei punti D ed $E$.
e. Scrivi l'espressione della funzione che descrive il profilo della pista dal punto $D$ al punto $E$.