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[Risolto] Esercizio di Geometria Analitica

  

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MODELLI Motocross. La linea del profilo di una pista di motocross comprende un primo tratto iperbolico dal punto D al punto B, un tratto parabolico dal punto B al punto A un un ulteriore tratto iperbolico dal punto A al punto E.

a. Determina l'equazione $y=\frac{a x+b}{c x+d}$ del primo tratto della salita, sapendo che passa per il punto $C\left(-\frac{1}{2} ; 2\right)$ e che la retta tangente nel punto di intersezione con l'asse delle ordinate ha equazione $y=4 x+3 .$

b. Scrivi l'equazione della parabola che descrive il profilo del secondo tratto della salita, sapendo che essa ha l'asse parallelo all'asse $y$, è tangente in $B$ all'iperbole appena trovata e passa per il punto $A(6 ; 9)$.

c. Completa la descrizione del tratto di pista, individuando l'equazione $y=\frac{81}{m x+n}$ dell'ultima iperbole, tangente in $A$ alla parabola precedente.

d. Trova l'altezza massima da terra (asse $x$ ) del tratto di circuito in esame, nonché le quote dei punti D ed $E$.

e. Scrivi l'espressione della funzione che descrive il profilo della pista dal punto $D$ al punto $E$.

IMG 20210421 152946
Autore

@ostooo10

mi sembra strano che manchino le coordinate di D--->D(-10,?) del tratto iperbolico.

Approvo poi quanto dice nella sua risposta @exprof

Etichette discussione
3 Risposte
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Risolvo il punto a, credo il più rognoso. 

Chi ben comincia è a metà dell'opera, eventualmente riposta i punti a cui non sai rispondere.

 

1. Passa per B(0,3)

-) Se è tangente in B significa che passa per B

-) Le coordinate di B si ottengono dal fatto che B è l'intercetta della retta tangente y = 4x+3

Introduciamo le coordinate di B nell'equazione y = (ax+b)/(cx+d)

3 = b/d ⇒ b = 3d

  • L'equazione si riduce alla forma y = (ax+3d)/(cx+d)

 

2. Variabile libera.

Sappiamo che le coniche, in questo caso un'iperbole equilatera passano per 3 punti, cioè sono necessari e sufficienti fissare 3 parametri. In questo caso, ne abbiamo 4, questo significa che un parametro è libero. Scegliamo di porre d=1.

  • L'equazione si riduce alla forma y = (ax+3)/(cx+1)

 

3. Passa per C(-1/2,2)

Introduciamo le coordinate di C nell'equazione y = (ax+3)/(cx+1)

2 = (-a/2+3)/(-c/2+1)

2 = (-a+6)/(-c+2)

-2c+4=-a+6

a = 2c+2 = 2(c+1)

  • L'equazione si riduce alla forma y = ((2c+1)x+3)/(cx+1)

 

4. Imponiamo la tangenza alla retta y=4x+3

Ricordiamo che nel punto di tangenza le due soluzioni risultano essere coincidenti.

{y = 4x+3

{y = ((2c+1)x+3)/(cx+1)

4x+3 = ((2c+1)x+3)/(cx+1)

4cx²+4x+3cx+3 = 2cx+x+3

4cx²+(3+c)x = 0

Una prima radice è x=0

Imponiamo che lo sia anche la seconda

4cx+3+c = 0 con x=0 si avrà c = -3

 

5. Equazione esplicita

c = -3 ⇒ a = 2c+2 = -4

per cui

y = (-4x+3)/(-3x+1)

 

6. Verifica grafica

https://www.desmos.com/calculator/74zzgcll97

 

  

 

@cmc

Bravo. Non avevo tenuto in conto quanto detto da te al punto 2 (scegliere di porre d=1 quale parametro libero)




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Con piacere! Quale ti serve delle nostre centinaia di mani?
Leggi il
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito, trascrivi il testo, allega una foto LEGGIBILE (pagina piatta, ripresa frontale, illuminazione decente), e infine formula un quesito specifico su quale punto non hai chiaro e perché (questo è anche per motivi d'economia: un tema così articolato impegna ORE per svolgerlo, non i venti minuti di un esercizio).
NB
Se dici "non so da dove iniziare" vuol dire che non hai studiato abbastanza bene la teoria nei capitoli precedenti.

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Non si legge nulla. Mi dispiace. Cerca di fare in modo che sia leggibile e comprensibile! E mi sembra troppo lungo e impegnativo. Prova a scomporlo in quesiti e mettine uno per volta. Comunque devi studiare e farlo tu.






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