[Risolto] Ciao, ho bisogno di un aiuto sui due problemi cerchiati in matita🙊 grazie in anticipo 🙂

@giorgii

Ciao e benvenuto. Devi leggere per bene il:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

Ti risolvo il primo che mi sembra più lunghetto.

2·x + 3·y - 5 = 0------>y = 5/3 - 2·x/3

Il generico punto sulla retta è:

[x, 5/3 - 2·x/3]------>C

Devi scrivere l'equidistanza di questo punto dai due assegnati.

[1, 5]

[5, -3]

AC=√((x - 1)^2 + (5/3 - 2·x/3 - 5)^2)

BC=√((x - 5)^2 + (5/3 - 2·x/3 + 3)^2)

Elevo al quadrato e semplifico la prima:

(x^2 - 2·x + 1) + (- 2·x/3 - 10/3)^2= 13·x^2/9 + 22·x/9 + 109/9

Elevo al quadrato e semplifico la seconda:

(x^2 - 10·x + 25) + (14/3 - 2·x/3)^2 =13·x^2/9 - 146·x/9 + 421/9

Quindi:

13·x^2/9 + 22·x/9 + 109/9 = 13·x^2/9 - 146·x/9 + 421/9

22·x/9 + 109/9 = - 146·x/9 + 421/9

22·x + 109 = 421 - 146·x

168·x = 312------->x = 13/7

Per sostituzione ottengo l'ordinata del punto C

y = 5/3 - 2·(13/7)/3------> C(13/7, 3/7)

Coefficiente angolare di AC:

Mac=(5 - 3/7)/(1 - 13/7) = - 16/3

parallela per B ad AC:

y + 3 = - 16/3·(x - 5)------->y = 71/3 - 16·x/3

Coefficiente angolare di BC:

Mbc=(-3 - 3/7)/(5 - 13/7) = - 12/11

parallela per A a BC:

y - 5 = - 12/11·(x - 1)------->y = 67/11 - 12·x/11

Metto a sistema le due rette trovate ed ottengo  le coordinate di D

x = 29/7 ∧ y = 11/7

Per l'area:

[1, 5]

[13/7, 3/7]

[5, -3]

[29/7, 11/7]

[1, 5]

Metodo dell'allacciamento delle scarpe:

Area=1/2·ABS(1·3/7 + 13/7·(-3) + 5·11/7 + 29/7·5 +

- (1·11/7 + 29/7·(-3) + 5·3/7 + 13/7·5)) = 80/7------> area=11,43 circa

Vediamo ora il 572

Determino l'asse del segmento AB:

√((x - 2)^2 + (y + 1)^2) = √((x - 4)^2 + (y - 3)^2)

imponendo l'equidistanza dai punti A(2,-1) e da B(4,3)

Quindi elevo al quadrato e semplifico:

x^2 - 4·x + y^2 + 2·y + 5 = x^2 - 8·x + y^2 - 6·y + 25

4·x + 8·y - 20 = 0

x + 2·y - 5 = 0 equazione dell'asse di AB in forma implicita

y = 5/2 - x/2 equazione dell'asse di AB nella forma esplicita

Verifico che il punto D è il circocentro:

7/3 = 5/2 - 1/3/2----> 7/3 = 7/3   D(1/3,7/3)  OK

Calcolo il raggio della circonferenza circoscritta:

r=DA=√((1/3 - 2)^2 + (7/3 + 1)^2)=5·√5/3

Equazione circonferenza:

(x - 1/3)^2 + (y - 7/3)^2 = (5·√5/3)^2

(x^2 - 2·x/3 + 1/9) + (y^2 - 14·y/3 + 49/9) = 125/9

sviluppo e moltiplico per 9:

3·x^2 + 3·y^2 - 2·x - 14·y - 25 = 0

La metto a sistema con l'asse determinando le intersezioni e quindi i due vertici dei due triangoli isosceli possibili.

{3·x^2 + 3·y^2 - 2·x - 14·y - 25 = 0

{y = 5/2 - x/2

soluzione del sistema:

x = -3 ∧ y = 4 , x = 11/3 ∧ y = 2/3

C(-3,4) e C1(11/3,2/3)

 

TESTI
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569) Con
* r ≡ 2*x + 3*y - 5 = 0 ≡ y = (5 - 2*x)/3
* A(1, 5)
* B(5, - 3)
determinare
a) C(k, (5 - 2*k)/3) equidistante da (A, B)
b) D(x, y) tale che ACBD sia parallelogramma
c) l'area S(ACBD)
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572) Triangolo isoscele di base AB e circumcentro D(1/3, 7/3), con
* A(2, - 1), B(4, 3)
Trovare il vertice C.
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RISPOSTA
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A) LA TRASCRIZIONE TOCCA A CHI CHIEDE: è una cafonata lasciarla a carico di chi risponde, cosa da bambina pigra e viziata.
Ancora peggio è il non aver letto il https://www.sosmatematica.it/regolamento/
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B) Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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C) Il circumcentro di un poligono inscrivibile è l'unico punto del piano equidistante da ogni vertice.
Test di inscrivibilità: esiste un punto del piano equidistante da ogni vertice di un poligono?
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572) L'asse del segmento AB è
* r ≡ y = (2*(4 - 2)*x + 2^2 - 4^2 + (- 1)^2 - 3^2)/(2*(- 1 - 3)) ≡ y = (5 - x)/2
D(1/3, 7/3) è su r perché 7/3 = (5 - 1/3)/2 e dista da (A, B)
* d = |DA| = |DB| = (5/3)*√5
C(k, (5 - k)/2) è su r per definizione e deve distare d da D
da cui
* C1(- 3, 4) oppure C2(11/3, 2/3)
entrambi vertici validi non essendoci vincoli sull'ampiezza dell'angolo interno al vertice C, se debba essere acuto o no.
VERIFICA
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle%282%2C-1%29%2C%284%2C3%29%2C%28-3%2C4%29circumcenter
http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle%282%2C-1%29%2C%284%2C3%29%2C%2811%2F3%2C2%2F3%29circumcenter
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569) UFFA! ma perché non hai letto il Regolamento?