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[Risolto] Chiarimento equazione irrazionale con modulo  

  

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Ciao, mi son imbattuto in questa equazione: $\sqrt{6x^2-2x}=\left|x-3\right|$

Non ho ancora fatto molte equazioni di questo tipo e son un po' confuso. 

Quello che ho fatto per cercare di risolverla è stato un mix.

Ho posto a sistema diverse condizioni: argomento del modulo $\ge 0$, CE del radicale, e successivamente entrambi i membri elevato al quadrato.

$\begin{Bmatrix}
x-3\ge 0\\
6x^2-2x\ge 0\\
6x^2-2x=\left(x-3\right)^2

\end{Bmatrix}$

Risolvendo il tutto si ottiene:

$\begin{Bmatrix}
x\ge 3\\
x\le 0\:\vee \:x\ge \frac{1}{3}\\
x\:=\:1\:\vee \:x=\:-\frac{9}{5}

\end{Bmatrix}$

Le ultime son proprio le soluzioni dell'equazione, ma sono confuso. Quali sono le condizioni da rispettare in questi casi? Solo le CE dei radicali? 🙄 

Adesso non dovrei fare un altro sistema con l'argomento del modulo $<0$ ed unire le soluzioni ? 

 

 

 

@sosmatematica 5 minuti per l'editing sono una cagata pazzesca. 

Ecco i sistemi che non si vedono:

$\left\{\begin{matrix}
x-3\ge 0\
\\
6x^2-2x\ge 0
\\
6x^2-2x=\left(x-3\right)^2
\end{matrix}\right.$

Risolvendo il tutto si ottiene:

$\left\{\begin{matrix}
x\ge 3\
\\
x\le 0\:\vee \:x\ge \frac{1}{3}\
\\
x\:=\:1\:\vee \:x=\:-\frac{9}{5}
\end{matrix}\right.$

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3 Risposte
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SPIEGAZIONE

Il procedimento seguito e il sistema risolto sono parzialmente corretti.

Prima imponi le condizioni di esistenza del radicale, poi elevi entrambi i membri al quadrato.

In questo caso non è necessario imporre che il secondo membro sia positivo, perché il modulo impone proprio la positività. Quindi sai per certo che $|x-3|$ è positivo (o nullo).

Infine, non c’è bisogno di risolvere un altro sistema, poiché elevando tutto al quadrato, alla fine ottieni $(x-3)^{2}$, che, di nuovo, è sicuramente positivo.

 

SOLUZIONE

$C.E.:6x^{2}-2x\geq0\Rightarrow{x}\leq0\vee{x}\geq\frac{1}{3}$

$\sqrt{6x^{2}-2x}=|x-3|$

$6x^{2}-2x=|x-3|^{2}$

$6x^{2}-2x=(x-3)^{2}$

$6x^{2}-2x=x^{2}-6x+9$

$5x^{2}+4x-9=0$

$(5x+9)(x-1)=0$

$x_{1}=-\frac{9}{5},~x_{2}=1$

@ExProf, io credo sia tutto corretto. Mi sembra che lei abbia inserito un’equazione differente. Le soluzioni giuste dell’equazione sono $-\frac{9}{5}$ e $1$, come mostrato anche qui:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√%286*x%5E2-2*x%29%3D%7Cx-3%7C+where+x%3D+-9%2F5

https://www.wolframalpha.com/input/?i=√%286*x%5E2-2*x%29%3D%7Cx-3%7C+where+x%3D+1

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l'unica condizione di esistenza che devi imporre è il radicando maggiore o uguale di 0. Poi elevando al quadrato ambo i membri elimini il modulo e risolvi l'equazione di secondo grado che ti trovi davanti.

@matematico Grazie! Quindi non devo studiare segno del modulo facendo i due casi, come facevo nelle equazioni con i moduli?

non c'è bisogno in questo caso. Il modulo è sempre maggiore o uguale di 0. Quindi per avere senso quell'equazione ti basta imporre il radicando maggiore o uguale di 0, e poi puoi elevare ambo i membri al quadrato eliminando così il modulo. Quando ti trovi difronte ad un'equazione o ad una disequazione devi sempre ragionare sull'espressione che hai di fronte. Non applicare le formule risolutive in modo meccanico, perchè così rischi di fare molti più conti di quanti ne bastino in realtà.

@matematico Grazie mille dei consigli! 😇

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Le considerazioni che saltano all'occhio osservando la forma dell'equazione
* √(6*x^2 + 2*x) = |x - 3|
sono tre.
a) Il secondo membro è un reale non negativo (anche per x complesso) quindi tale dev'essere il primo membro.
b) Quale che sia il segno di "x - 3" sparirà nell'indispensabile quadratura.
c) Essendo necessaria una quadratura occorrerà verificare che le radici ottenute non siano spurie.
------------------------------
CONSEGUENZE
---------------
a) 6*x^2 + 2*x >= 0 ≡ (x <= - 1/3) oppure (x >= 0)
---------------
b) √(6*x^2 + 2*x) = |x - 3| ≡
≡ 6*x^2 + 2*x - |x - 3|^2 = 0 ≡
≡ 5*x^2 + 8*x - 9 = 0 ≡
≡ x^2 + (8/5)*x - 9/5 = 0
---------------
b1) (x^2 + (8/5)*x - 9/5 = 0) & ((x <= - 1/3) oppure (x >= 0)) ≡
≡ ((x = (- 4 - √61)/5 ~= - 2.4) oppure (x = (- 4 + √61)/5) ~= 0.8) & ((x <= - 1/3) oppure (x >= 0)) ≡
≡ (X1 = (- 4 - √61)/5) oppure (X2 = (- 4 + √61)/5)
---------------
c) f(x) = √(6*x^2 + 2*x) - |x - 3|
---------------
c1) f((- 4 - √61)/5) = √(6*((- 4 - √61)/5)^2 + 2*(- 4 - √61)/5) - |(- 4 - √61)/5 - 3| =
= √((422 + 38*√61)/25) - (19 + √61)/5 =
= (19 + √61)/5 - (19 + √61)/5 = 0
La radice X1 è ACCETTABILE.
---------------
c2) f((- 4 + √61)/5) = √(6*((- 4 + √61)/5)^2 + 2*(- 4 + √61)/5) - |(- 4 + √61)/5 - 3| =
= √((422 - 38*√61)/25) - (19 - √61)/5 =
= (19 - √61)/5 - (19 - √61)/5 = 0
La radice X2 è ACCETTABILE.

Salve @exprof, credo ci sia un errore nel suo svolgimento.

 
L’equazione iniziale è $\sqrt{6x^{2}-2x}=|x-3|$ e non $\sqrt{6x^{2}+2x}=|x-3|$.

Grazie, e scusami tanto! (Senectus ipsa est morbus)

@exprof Di nulla! Errare humanum est.

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