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[Risolto] Disequazione irrazionale fratta  

  

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Ciao, qualcuno potrebbe farmi vedere come risolvere questa disequazione?

$\displaystyle\frac{x\sqrt{-x^2+4}}{x^2-4}-1>\:0$

E' da 40 minuti che cerco l'errore ma non riesco a trovarlo, forse ho impostato male il procedimento.

Il risultato corretto è $-2<x<-\sqrt{2}$

Grazie in anticipo 🖐️ 

3 Risposte
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Per risolvere la disequazione ho ragionato in questo modo. Determiniamo innanzitutto il campo di esistenza della disequazione. Devi avere -x²+4≥0 e x²-4≠0 poichè -x²+4 sta sotto la radice e x²-4 sta a denominatore. Quindi mettendo le due condizioni a sistema ottieni x²-4<0, ovvero -2<x<2. Osserviamo tra l'altro che se x=0, la disequazione non è verificata, poichè sostituendo si ottiene -1>0 che è falsa. Quindi abbiamo -2<x<0 v 0<x<2. Ma osserviamo che se 0<x<2, x √(-x²+4)>0 e x²-4<0, pertanto in questo caso x √(-x²+4)/(x²-4)<0 e di conseguenza

x √(-x²+4)/(x²-4)-1<0 e quindi non è soddisfatta la disequazione. Pertanto ti resta -2<x<0. In questo caso la disequazione la puoi riscrivere come -x/√(-x²+4)>1 e dunque poichè √(-x²+4)>0, hai -x>√(-x²+4). Essendo primo e secondo membro positivi puoi elevare al quadrato ottenendo x²>-x²+4, cioè 2x²>4, ovvero x²>2, cioè x<-√2 v x>√2. Mettendo a sistema -2<x<0 con x<-√2 v x>√2, ottieni la soluzione della disequazione, ovvero -2<x<-√2. 

@matematico Io per risolvere la disequazione ho proceduto in modo del tutto diverso, ponendo tutto a sistema:

$\left\{\begin{matrix}
-x^2+4\ge 0\\
\:\frac{x^2\left(-x^2+4\right)}{\left(x^2-4\right)^2}>1
\end{matrix}\right.$

Ho dunque posto l'argomento del radicale $\ge 0$ ed ho elevato entrambi i membri al quadrato.

Alla fine mi viene:

$\left\{\begin{matrix}
-2\le \:x\le \:2\\
-2<x<-\sqrt{2}\:\vee \:\sqrt{2}<x<2
\end{matrix}\right.$

Quello che non capisco è perché come risultato alla fine mi viene $-2<x<-\sqrt{2}\:\vee \:\sqrt{2}<x<2$ e non soltanto $-2<x<-\sqrt{2}$. 🤬 

Dove sta l'errore?

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L'intervallo "- 2 < x < - √2" è solo il risultato atteso; che sia corretto o no lo si potrà dire solo alla fine.
Volendolo proprio sapere da prima si deve ricorrere ad altri mezzi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*%E2%88%9A%28-x%5E2%2B4%29%2F%28x%5E2-4%29-1%3E0
ebbene sì, è corretto.
------------------------------
La disequazione
* x*√(- x^2 + 4)/(x^2 - 4) - 1 > 0
è definita per
* x^2 - 4 != 0 ≡ x non in {- 2, 2} ≡ |x| != 2
ed è definita reale per
* (|x| != 2) & (4 - x^2 >= 0) ≡ (|x| != 2) & (- 2 <= x <) 2) ≡ - 2 < x < 2
---------------
Esclusi i valori {- 2, 2} è lecito procedere come segue.
* x*√(4 - x^2)/(x^2 - 4) - 1 > 0 ≡
≡ x*√(4 - x^2)/(x^2 - 4) > 1 ≡
≡ (x^2 - 4 < 0) & (x*√(4 - x^2) < x^2 - 4)
oppure
≡ (x^2 - 4 > 0) & (x*√(4 - x^2) > x^2 - 4)
---------------
La seconda alternativa è un vicolo cieco perché
* x^2 - 4 > 0 ≡ (x < - 2) oppure (x > 2)
soluzione esterna all'insieme di definizione reale.
---------------
La prima alternativa conduce a ulteriori sdoppiamenti
* (x^2 - 4 < 0) & (x*√(4 - x^2) < x^2 - 4) ≡
≡ (- 2 < x < 2) & (x*√(4 - x^2) < x^2 - 4) ≡
≡ (- 2 < x < 0) & (√(4 - x^2) > (x^2 - 4)/x)
oppure
≡ (0 < x < 2) & (√(4 - x^2) < (x^2 - 4)/x)
------------------------------
* (- 2 < x < 0) & (√(4 - x^2) > (x^2 - 4)/x) ≡
≡ (- 2 < x < 0) & ((x^2 - 4)/x >= 0) & (4 - x^2 > (x^2 - 4)^2/x^2) oppure (- 2 < x < 0) & ((x^2 - 4)/x < 0) ≡
≡ (- 2 < x < 0) & ((x^2 - 4)/x >= 0) & (4 - x^2 > (x^2 - 4)^2/x^2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (- 2 < x < 0) & (4 - x^2 > (x^2 - 4)^2/x^2) ≡
≡ (- 2 < x < 0) & ((- 2 < x < - √2) oppure (√2 < x < 2)) ≡
≡ (- 2 < x < 0) & (- 2 < x < - √2) oppure (- 2 < x < 0) & (√2 < x < 2) ≡
≡ (- 2 < x < - √2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ - 2 < x < - √2
------------------------------
* (0 < x < 2) & (√(4 - x^2) < (x^2 - 4)/x) ≡
≡ (0 < x < 2) & ((x^2 - 4)/x >= 0) & (4 - x^2 < (x^2 - 4)^2/x^2) ≡
≡ (insieme vuoto) & (4 - x^2 < (x^2 - 4)^2/x^2) ≡
≡ (insieme vuoto)
==============================
FINE DELLA NOIOSISSIMA DIMOSTRAZIONE

2

A occhio puoi osservare che tra i tuoi due intervalli, quello positivo è da escludere. Se osservi poste le condizioni di esistenza del radicale e del denominatore, ossia -2<x<2, la quantità al denominatore in questo intervallo di valori è sicuramente negativa. A questo punto il numeratore deve essere necessariamente negativo, poiché se fosse positivo avresti una quantità negativa a cui viene poi sottratto 1, dunque la disequazione sarebbe impossibile. L'unico "modo" per rendere il numeratore è negativo è quello di porre x<0, posto che il radicale è sicuramente una quantità positiva. Dunque hai una terza condizione di esistenza, ossia che x<0. A quel punto tra i due intervalli che ottieni svolgendo correttamente i calcoli, quello positivo è da escludere. 

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