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[Risolto] C’É QUALCOSA CHE NON COSA

  

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Svolgo gli stessi passaggi di esercizi già fatti in quanto presentano lo stesso procedimento eppure mi escono risultati decimali, chiedo un ulteriore aiuto 🙂 

L’esercizio é: determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse c che a vertice V(12;-6) e passa per il punto A(6;-12) e trova l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P di ordinata nulla. Dimostra che la retta trovata è l’asse del segmento FQ con F fuoco della parabola e Q proiezione di P sulla direttrice.

Autore
A7C60E71 8517 469F A922 DA4A78E32E4D

Allego la foto, grazie tante! <3

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Ciao

x = a·y^2 + b·y + c

{6 = a·(-12)^2 + b·(-12) + c

{12 = a·(-6)^2 + b·(-6) + c

{- b/(2·a) = -6

quindi:

{144·a - 12·b + c = 6

{36·a - 6·b + c = 12

{b/a = 12

risolvo per sostituzione:

a = b/12

{144·(b/12) - 12·b + c = 6

{36·(b/12) - 6·b + c = 12

quindi

{c = 6

{c - 3·b = 12

In definitiva:6 - 3·b = 12---->b = -2

a = (-2)/12----->a = - 1/6

Quindi: [a = - 1/6 ∧ b = -2 ∧ c = 6]

Metto a sistema:

{x = - 1/6·y^2 - 2·y + 6

{y = 0

ottengo: [x = 6 ∧ y = 0]            (6,0) in tale punto determino la tangente.

Utilizzo le formule di sdoppiamento:

(x + 6)/2 = - 1/6·y·0 - 2·(y + 0)/2 + 6------->(x + 6)/2 = 6 - y

equazione tangente: x + 2·y - 6 = 0

distanza focale=1/ABS(4·a)----->1/ABS(4·(- 1/6))----> d=3/2

ora la parabola ha i rami che voltano a sinistra (a<0) per cui le coordinate del fuoco e della direttrice sono:

[12 - 1.5, -6]------->F(21/2,-6)

equazione direttrice: x = 27/2

esplicito la retta tangente:  y = 3 - x/2

Il segmento FQ ha estremi:

(27/2,0)

(21/2,-6)

Ha un coefficiente angolare pari a:  m = (-6 - 0)/(21/2 - 27/2)----->m = 2

quindi è perpendicolare alla retta tangente.

Il suo punto medio è:

{x = (27/2 + 21/2)/2

{y = (-6 + 0)/2                        M(12,-3)

Verifico per finire il passaggio della retta tangente per M

-3 = 3 - 12/2------> -3 = -3 OK

 

image

 

 

 

@lucianop potrei avere il procedimento della retta tangente senza la regola della sdoppiamento? Perché non l’ho mai fatta🙊




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  • Asse di simmetria parallelo all'asse delle x ⇒ equazione canonica del tipo x=ay²+by+c

 

 

  • Vertice V(12,-6) e passa per A(6,-12)

Possiamo usare l'equazione del fascio passante per il vertice V(xV,yV) ed il punto A oppure impostare un sistema di 3 equazione nella 3 incognite a,b e c. Scegliamo il sistema

{xV = (-b²+4ac)/4a = 12 ← ascissa del Vertice

{yV = -b/2a = -6 ← ordinata del vertice 

{36a+6b+c = -12 ← passa per A(6,-12)

L'unica soluzione è a=-1/6; b=-2; c=6

L'equazione della parabola risulta così essere x=-y²/6-2y+6

 

 

  • Retta tangente in P
    • Coordinate di P(xP,0)

Sostituiamo le coordinate nell'equazione e determiniamo per quale valore di xP la stessa è verificata.

xP = 0+0+6.

Le coordinate di P sono P(6,0)

    • Retta tangente. Usiamo le formule di sdoppiamento

(x+xP)/2 = -y*yP/6 - 2(y+yP)/2 +6

(x+6)/2 =  - (y+0) +6  

x+2y-6 = 0

 

 

  • Asse FQ
    • Coordinate del fuoco F(21/2,-6)
    • Proiezione di P sulla direttrice.
      • direttrice d: ha equazione x = -(1+b²-4ac)/4a = -(1+4+4)/(-2/3) = 27/2
      • Coordinate di Q proiezione di P su d: Q(27/2,0)
    • asse del segmento FQ. Usiamo la definizione di asse come luogo dei punti equidistati dagli estremi F e Q.

(x-xF)²+(y-yF)² = (x-xQ)²+(y-yQ)²

(x-21/2)²+(y+6)² = (x-27/2)²+y²

con i calcoli i termini quadratici si semplificano per cui l'equazione dell'asse risulta

x+2y-6 = 0

che coincide con l'equazione della tangente in P.

 

 

 

 

 

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Rispondo in merito alla tua domanda che mi hai fatto nel commento.

Determino la retta tangente nel modo classico (devi fare attenzione perché si può sbagliare facilmente nei calcoli). Scrivo retta passante per (6,0):

y - 0 = m·(x - 6)-----> y = m·x - 6·m (fascio proprio di rette per il punto dato)

la metto a sistema con la parabola:

{x = - 1/6·y^2 - 2·y + 6

{y = m·x - 6·m

Procedo con sostituzione:

x = - 1/6·(m·x - 6·m)^2 - 2·(m·x - 6·m) + 6

x = - 1/6·(m^2·x^2 - 12·m^2·x + 36·m^2) - 2·(m·x - 6·m) + 6

6·x = - m^2·x^2 + 12·m·x·(m - 1) - 36·(m^2 - 2·m - 1)

m^2·x^2 - 6·x·(2·m^2 - 2·m - 1) + 36·(m^2 - 2·m - 1) = 0

Applico la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0

(- 3·(2·m^2 - 2·m - 1))^2 - m^2·(36·(m^2 - 2·m - 1)) = 0

(36·m^4 - 72·m^3 + 36·m + 9) - (36·m^4 - 72·m^3 - 36·m^2) = 0

36·m^2 + 36·m + 9 = 0

9·(2·m + 1)^2 = 0--------> m = - 1/2

Quindi: y = (- 1/2)·x - 6·(- 1/2)------->y = 3 - x/2  retta tangente

 

@lucianop Ecco sii, ho fatto qualche errore di calcolo! Infatti il discriminante mi usciva minore di zero: gentilissimo come sempre 🙂






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