Calcolare il perimetro di un triangolo avendo l’area

La corda è la base del triangolo e la distanza della corda dal centro è l'altezza, quindi triangolo ABO:

altezza $h= \frac{2A}{b}=\frac{2×420}{40}=21~cm$;

raggio del cerchio = lato obliquo del triangolo:

$lo= \sqrt{21^2+\big(\frac{40}{2}\big)^2}=\sqrt{21^2+20^2}=29~cm ~(teorema ~di~ Pitagora)$;

perimetro $2p_{ABO}=b+2lo = 40+2×29 = 98~cm$.

 

Se vogliamo complicarci la vita, una diversa soluzione è:

 

L'area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso. 

La lunghezza di una corda è pari al diametro per il seno dell'angolo alla circonferenza. 

Valgono quindi le relazioni:

 

{ (1/2)*R²*sin(2a) = 420  (2a = angolo al centro compreso tra due raggi)

 

{40 = 2r*sin(a)  (teorema della corda) 

 

Ricaviamo della seconda:

r= 20/sin(a)

 

Sostituendo il valore di r nella prima equazione ricavo:

 

[200*sin(2a)]/(sin²(a)) = 420

tan(a) = 400/420

 

Sostituendo il valore dell'angolo nella prima equazione si ricava il valore di r= 29 cm

Il triangolo è isoscele sulla base AB (corda) e i due lati obliqui sono raggi di lunghezza r=29 cm

 

Perimetro del triangolo: 2p= 29*2+40= 98 cm

In una circonferenza di centro O, la corda AB misura 40 cm e l’area A del triangolo ABO è 420 cm2. Calcola il perimetro 2p del triangolo. 

OH _l_ ad AB, pertanto, AOB essendo isoscele,  AH = BH = 40/2 = 20 cm 

OH = 2A / AB = 840/40 = 84/4 = 21 cm

OA = OB =  √BH^2+OH^2 = √20^2+21^2 = √841 = 29 cm

perimetro 2p = 29*2+40 = 98 cm 

 

 

 

Chiamo

c= lunghezza corda=40 cm  ; r= raggio circonferenza ; h distanza corda dal centro O della circonferenza

Α = 1/2·c·h-----> 420 = 1/2·40·h-----> h = 21 cm

con Pitagora calcolo il raggio r:

r = √((c/2)^2 + h^2)----> r = √((40/2)^2 + 21^2)----> r = 29 cm

Il perimetro cercato è:

2·p = c + 2·r----> 2·p = 40 + 2·29----> 2·p = 98 cm