[Risolto] Calcola il volume

@giuliaaassss

Ciao ( le parabole non sono appuntite).

L'integrale va fatto da 0 a 4

Gli integrali relativi sono:

∫(pi·(4·x - x^2)^2) dx=pi·x^3·(3·x^2 - 30·x + 80)/15

∫(pi·(2·x - x^2/2)^2)dx =pi·x^3·(3·x^2 - 30·x + 80)/60

valutati da 0 a 4:

512·pi/15 il primo

128·pi/15 il secondo

V = volume=512·pi/15 - 128·pi/15 = 128·pi/5 cm^3

Io ho un'idiosincrasia contro la revisione di manoscritti perciò non posso aiutarti a capire l'errore, se ce n'è uno. Però ti mostro uno svolgimento possibile in modo che tu possa fare un confronto col tuo.
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Il fascio Γ(a) di parabole "con asse parallelo all'asse y che intersecano l'asse x nei due punti O(0,0) e A(4,0)" avendo come punti base gli zeri deve avere l'apertura "a != 0" come parametro
* Γ(a) ≡ y = a*x*(x - 4)
quindi Γ1 per (2, 4) e Γ2 per (2, 2) si determinano dai vincoli d'appartenenza
* Γ1: 4 = a*2*(2 - 4) ≡ a = - 1
* Γ2: 2 = a*2*(2 - 4) ≡ a = - 1/2
in
* Γ(- 1) ≡ y = x*(4 - x)
* Γ(- 1/2) ≡ y = x*(4 - x)/2
da cui si vede che in ogni ascissa fra gli zeri l'ordinata di Γ1 è doppia di quella di Γ2 che è positiva: 0 < yΓ2 < yΓ1 per 0 < x < 4.
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Considerare la regione di piano limitata dai grafici di Γ1 e Γ2 ai fini di determinare il volume del solido ottenuto dalla rotazione di questa regione di piano intorno all'asse x non significa altro che riconoscere il fatto che è limitata da due funzioni positive i cui grafici, nell'intervallo d'integrazione, non s'intersecano.
Pertanto il volume V richiesto si ottiene dal calcolo di
* V = π*∫ [x = 0, 4] ((x*(4 - x))^2 - (x*(4 - x)/2)^2)*dx =
= (3*π/4)*∫ [x = 0, 4] (x^4 - 8*x^3 + 16*x^2)*dx
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Si ha
* f(x) = x^4 - 8*x^3 + 16*x^2
* F(x) = ∫ f(x)*dx = (3*x^2 - 30*x + 80)*x^3/15 + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) = (3*(b^5 - a^5) - 30*(b^4 - a^4) + 80*(b^3 - a^3))/15
da cui
* V = (3*π/4)*∫ [x = 0, 4] (x^4 - 8*x^3 + 16*x^2)*dx =
= (3*π/4)*I(f, 0, 4) =
= (3*π/4)*((3*(4^5 - 0^5) - 30*(4^4 - 0^4) + 80*(4^3 - 0^3))/15) =
= (128/5)*π ~= 80.42