[Risolto] Asse di un segmento

L'asse del segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il punto medio. Determiniamo le coordinate del punto medio $M \operatorname{di} A B$
\[
x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-2+4}{2}=1, \quad y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{1+3}{2}=2
\]
Il punto medio di $A B$ è $M(1 ; 2)$ Calcoliamo il coefficiente angolare della retta $A B$
\[
m_{A B}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{3-1}{4+2}=\frac{1}{3}
\]
Il coefficiente angolare di una retta perpendicolare ad $A B$ è $m=-3$ L'equazione dell'asse è quindi:
\[
y-2=-3(x-1) \rightarrow y=-3 x+3+2 \rightarrow y=-3 x+5
\]

L'equazione dell'asse del segmento di estremi A(a, p) e B(b, q) si può determinare applicando la definizione: asse del segmento AB è il luogo dei punti equidistanti da A e da B.
Si danno fondamentalmente due casi per ispezione e un caso di calcolo.
1) Per a = b: asse(AB) ≡ y = (a + b)/2
2) Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
3) Per (a != b) & (p != q):
* asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
Nel caso 3 il calcolo è: eguagliare i quadrati delle distanze del generico P(x, y) da A e da B; risolvere per y.
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Con A(- 2, 1), B(4, 3) si cade nel caso tre, quindi
* asse(AB) ≡ y = (2*(4 - (- 2))*x + (- 2)^2 - 4^2 + 1^2 - 3^2)/(2*(1 - 3)) ≡
≡ y = 5 - 3*x