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[Risolto] determinare i valori a e b della curva

  

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Si consideri la funzione $y=\frac{(ax^2+b)}{(x^2+1)}$,

determinare a e b in modo che la curva Y che la rappresenti passi per il punto (2,0) e abbia ivi come tangente una retta parallela alla retta di equazione 8x-5y+1=0.

In corrispondenza di a e b trovati, determinare i punti di flesso.

Dopo aver determinato l'equazione della curva Y', simmetrica di Y rispetto alla retta passante per i due punti di flesso, calcolare l'area della regione finita di piano limitata da Y e Y'.

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La retta

* 8*x - 5*y + 1 = 0 ≡ y = (8*x + 1)/5 ha pendenza

* m = 8/5

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La curva

* Γ ≡ y = f(x) = (a*x^2 + b)/(x^2 + 1) ha pendenza e derivata seconda

* m(x) = f'(x) = 2*(a - b)*x/(x^2 + 1)^2

* f''(x) = - 2*(a - b)*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)^3

------------------------------

La condizione "passi per il punto (2,0)" impone il vincolo

* 0 = f(2) = (a*2^2 + b)/(2^2 + 1) ≡ b = - 4*a da cui

* y = f(x) = a*(x^2 - 4)/(x^2 + 1) * m(x) = f'(x) = 10*a*x/(x^2 + 1)^2 * f''(x) = - 10*a*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)^3

------------------------------

La condizione "abbia ivi la tangente di pendenza 8/5" impone il vincolo * m(2) = f'(2) = 10*a*2/(2^2 + 1)^2 = 8/5 ≡ a = 2 → b = - 8 da cui * t ≡ y = (8/5)*(x - 2) * Γ ≡ y = f(x) = 2*(x^2 - 4)/(x^2 + 1) * m(x) = f'(x) = 20*x/(x^2 + 1)^2 * f''(x) = - 20*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)^3

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Vedi il grafico e il paragrafo "Solution" al link

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%288%2F5%29*%28x-2%29%2Cy%3D2*%28x%5E2-4%29%2F%28x%5E2%2B1%29%5D

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Nei punti di flesso la derivata seconda è zero.

Con

* f''(x) = - 20*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)^3 = 0 ≡ x = ± 1/√3 * f(- 1/√3) = f(+ 1/√3) = - 11/2 la congiungente i punti di flesso F1(- 1/√3, - 11/2) e F2(1/√3, - 11/2) è

* F1F2 ≡ y = - 11/2 e la curva Γ', simmetrica di Γ rispetto a F1F2, si ricava applicando la simmetria

* (x = X) & (y = - Y - 11) alla * Γ ≡ y = 2*(x^2 - 4)/(x^2 + 1)

0ttenendo

* Γ' ≡ - Y - 11 = 2*(X^2 - 4)/(X^2 + 1) ≡

≡ y = - (13*x^2 + 3)/(x^2 + 1)

Vedi

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-11%2F2%2Cy%3D2*%28x%5E2-4%29%2F%28x%5E2%2B1%29%2Cy%3D-%2813*x%5E2%2B3%29%2F%28x%5E2%2B1%29%5D ==============================

La differenza da integrare fra i punti di flesso è

"Γ' - Γ", cioè

* d(x) = (- (13*x^2 + 3) - 2*(x^2 - 4))/(x^2 + 1) = - 5*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)

Si ha

* D(x) = ∫ d(x)*dx = 20*arctg(x) - 15*x + c e infine

* A = D(1/√3) - D(- 1/√3) =

= 20*arctg(1/√3) - 15*1/√3 - (20*arctg(- 1/√3) - 15*(- 1/√3)) =

= (10/3)*(2*π - 3*√3) ~= ~= 3.62

Vedi

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5Bx%3D-1%2F%E2%88%9A3%2C1%2F%E2%88%9A3%5D%28-5*%283*x%5E2-1%29%2F%28x%5E2%2B1%29%29*dx

Oddioddio! Il vostro software si mangia gli accapo! Fino all'una di questa notte funzionava bene, che avete fatto?

@exprof abbiamo effettuato alcuni aggiornamenti questa notte. Adesso dovrebbe funzionare nuovamente senza problemi.

Manco per sogno! Adesso aggiunge un accapo in più per ognuno che ho messo io. Un software per bene, come quello che c'era fino a ieri, si dovrebbe limitare ad aggiustare il numero di caratteri per riga senza aggiungere/sopprimere né spazi né accapo. Non deve pensare d'essere un tipografo se è solo un software.

 



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L’ho risolto fino al calcolo dell’area escluso...

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