La retta
* 8*x - 5*y + 1 = 0 ≡ y = (8*x + 1)/5 ha pendenza
* m = 8/5
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La curva
* Γ ≡ y = f(x) = (a*x^2 + b)/(x^2 + 1) ha pendenza e derivata seconda
* m(x) = f'(x) = 2*(a - b)*x/(x^2 + 1)^2
* f''(x) = - 2*(a - b)*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)^3
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La condizione "passi per il punto (2,0)" impone il vincolo
* 0 = f(2) = (a*2^2 + b)/(2^2 + 1) ≡ b = - 4*a da cui
* y = f(x) = a*(x^2 - 4)/(x^2 + 1) * m(x) = f'(x) = 10*a*x/(x^2 + 1)^2 * f''(x) = - 10*a*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)^3
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La condizione "abbia ivi la tangente di pendenza 8/5" impone il vincolo * m(2) = f'(2) = 10*a*2/(2^2 + 1)^2 = 8/5 ≡ a = 2 → b = - 8 da cui * t ≡ y = (8/5)*(x - 2) * Γ ≡ y = f(x) = 2*(x^2 - 4)/(x^2 + 1) * m(x) = f'(x) = 20*x/(x^2 + 1)^2 * f''(x) = - 20*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)^3
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%288%2F5%29*%28x-2%29%2Cy%3D2*%28x%5E2-4%29%2F%28x%5E2%2B1%29%5D
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Nei punti di flesso la derivata seconda è zero.
Con
* f''(x) = - 20*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)^3 = 0 ≡ x = ± 1/√3 * f(- 1/√3) = f(+ 1/√3) = - 11/2 la congiungente i punti di flesso F1(- 1/√3, - 11/2) e F2(1/√3, - 11/2) è
* F1F2 ≡ y = - 11/2 e la curva Γ', simmetrica di Γ rispetto a F1F2, si ricava applicando la simmetria
* (x = X) & (y = - Y - 11) alla * Γ ≡ y = 2*(x^2 - 4)/(x^2 + 1)
0ttenendo
* Γ' ≡ - Y - 11 = 2*(X^2 - 4)/(X^2 + 1) ≡
≡ y = - (13*x^2 + 3)/(x^2 + 1)
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-11%2F2%2Cy%3D2*%28x%5E2-4%29%2F%28x%5E2%2B1%29%2Cy%3D-%2813*x%5E2%2B3%29%2F%28x%5E2%2B1%29%5D ==============================
La differenza da integrare fra i punti di flesso è
"Γ' - Γ", cioè
* d(x) = (- (13*x^2 + 3) - 2*(x^2 - 4))/(x^2 + 1) = - 5*(3*x^2 - 1)/(x^2 + 1)
Si ha
* D(x) = ∫ d(x)*dx = 20*arctg(x) - 15*x + c e infine
* A = D(1/√3) - D(- 1/√3) =
= 20*arctg(1/√3) - 15*1/√3 - (20*arctg(- 1/√3) - 15*(- 1/√3)) =
= (10/3)*(2*π - 3*√3) ~= ~= 3.62
Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5Bx%3D-1%2F%E2%88%9A3%2C1%2F%E2%88%9A3%5D%28-5*%283*x%5E2-1%29%2F%28x%5E2%2B1%29%29*dx